Point d’annulation

[Danator]

il y a un problème , la questions deux , si j"ai compris correctement le ''ah moin 2n fois"" , (par au moin 2n fois)

pour $ n=1 $ le fait que l’intégrale de f sur $ [0,2\pi] $ soit égale a 0 donne simplement que $ f $ s'annule 1 fois , alors que l'assertion stipule 2 fois minimum , non ?

Pour n=1 on a k=0 donc l’intégrale de droite ( avec le sin ) est nulle on à donc pas de contre exemple ici

[oty20]

pour n=1 , l' assertion est : $ \int_{0}^{2\pi} f(t)dt=0 $ implique $ f $ s'annule au moins 2 fois sur $ [0,2\pi[ $
ce n'est pas vrai , il suffit que $ f $ s'annule une fois .

[bullquies]

f est 2pi périodique et continue. Si l'intégrale est nulle, f change de signe au moins une fois. Mais si f change de signe une fois sur [0,2pi[, elle doit aussi changer de signe une deuxième fois pour que les contraintes de continuité et périodicité sur f soient vérifiées (f(0) et f(2pi) sont de même signe). f peut aussi s'annuler sans changer de signe donc il y a au moins 2 annulations de f sur [0,2pi[

[oty20]

Merci beaucoup , j'ai oublié l’hypothèse de 2pi périodicité de $ f $ .

[JeanN]

Du coup personne ?

J'ai vu cet énoncé dans la rms mais avec des hypothèses supplémentaires.
Ce forum n'a pas pour vocation de rédiger des réponses à chaque exo de la rms un tant soit peu difficile.
Montre nous que tu as cherché quelques cas particuliers, (petites valeurs de n, etc) et peut-être qu'on t'aidera.

[matmeca_mcf1]

En ce qui concerne la question 2. As-tu regardé le cas $ n=2 $? Une fonction $ f $ qui satisfait tes hypothèses doit vérifier les deux égalités (pour $ k=1 $ et pour $ k=2 $).
$$
\int_{0}^{2\pi}f(t)\mathrm{d}t=0\\
\int_{0}^{2\pi}(\cos(t)-\sin(t))f(t)\mathrm{d}t=0
$$

Mais $ \cos(t)-\sin(t)=\sqrt{2}\cos(t+\pi/4) $. Donc, on regarde les fonctions $ f $ satisfaisant.
$$
\int_{0}^{2\pi}f(t)\mathrm{d}t=0\\
\int_{0}^{2\pi}\cos(t+\pi/4)f(t)\mathrm{d}t=0
$$

Peux-tu expliciter une fonction continue et $ 2\pi $ périodique qui annule ces deux intégrales? Il y en a une évidente.

SPOILER:

$$
\mathbb{R}\to\mathbb{R}\\
t\mapsto\sin(t+\pi/4)
$$
Elle vérifie les hypothèses de départ et s'annule deux fois seulement sur $ [0,2\pi) $ alors qu'elle devrait s'annuler $ 2n=4 $ fois.

Conclusion: tes hypothèses sont très certainement incomplètes. L'hypothèse devrait probablement être que les deux intégrales sont non seulement égales mais nulles.
$$
\forall k<n\quad \int_{0}^{2\pi}\cos(kt)f(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{2\pi}\sin(kt)f(t)\mathrm{d}t=0
$$

[Danator]

Bonjour matmeca,

Merci de ta réponse,

L’énoncer que j’ai écrit et l’exact énoncé de l’exercice;

Il est dans l’officiel de la taupe, je crois planche 62 ( pour l’oral de l’X )

[matmeca_mcf1]

Je peux affirmer que le résultat tel qu'il est présenté est faux puisqu'un contre-exemple existe. Que l'énoncé soit officiel ou non n'y change rien.

[noro]

[...]

[Hibiscus]

Manque un i. Dommage..