Sous-espace vectoriel fermé

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

mechiche
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Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » lun. avr. 16, 2018 3:08 pm

Bonjour,

Je viens d'apprendre (oui, à quelques jours des concours...) que dans un espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel de dimension finie était fermé.

J'ai essayé de démontrer ce théorème simplement avec la caractérisation séquentielle. En recherchant sur le net, jai vu plusieurs démo un peu compliquée, dont une utilisant un projecteur que je comprends bien, mais aucune faisant comme moi je l'avais fait. Ai-je fais une erreur quelque part ?

Voici ma démo : Soit \( E \) un espace vectoriel normé et \( A \) un sous-espace vectoriel de dimension finie de \( E \). Soit \( (a_n)\in A^{\mathbb{N}} \) une suite convergente d'éléments de \( A \) (une telle suite existe car \( A \not = \emptyset \)). Cette suite ne converge peut-être pas vers un élément de \( A \) mais elle est bornée car convergente. Or d'après Bolzano-Weierstrass, en dimension finie, de toute suite bornée on peut extraire une suite convergente. Donc \( (a_n) \) a une valeur d'adhérence \( \alpha \in A \), et puisque \( (a_n) \) converge, \( (a_n) \) converge donc vers \( \alpha \). Donc toute suite convergente d'éléments de \( A \) converge vers un élément de \( A \). Donc \( A \) est fermé.

Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance

Almar
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Almar » lun. avr. 16, 2018 3:22 pm

Sinon, utiliser Bolzano-Weierstrass c'est dire que c'est un compact, et compact \( \Rightarrow \) fermé.
Il faut préciser sur quel ensemble tu utilises BW.
(Après il me semble que ça marche oui)
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matmeca_mcf1
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par matmeca_mcf1 » lun. avr. 16, 2018 3:36 pm

Votre preuve est la preuve classique il me semble. Excepté qu'on utiliserait habituellement la complétude au lieu de la compacité mais la notion de complet a disparu du programme de prépa. En tous cas, votre preuve est correcte. Vous n'avez pas besoin de dire que \( A \) non vide car l'ensemble vide est un fermé. Au niveau de la rédaction, il faudrait voir avec un prof de prépa mais je rajouterais "A muni de la norme E est un evn de dimension fini."
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mechiche
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » lun. avr. 16, 2018 3:39 pm

J'ai le droit de dire que \( (a_n) \) est bornée sur \( A \) ?

matmeca_mcf1
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par matmeca_mcf1 » lun. avr. 16, 2018 3:52 pm

Oui, puisque l'on va munir A de la même norme que E. IE on pose pour tout x dans A, que la norme de x dans A est égale à la norme de x dans E. Donc, une suite bornée dans E est aussi bornée dans A.
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mechiche
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par mechiche » lun. avr. 16, 2018 4:08 pm

Merci à vous deux pour vos réponses, je comprends maintenant.

Dernière petite question ? \( \mathbb{Q} \) est bien un \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel de dimension \( 1 \) non ?

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par oty20 » lun. avr. 16, 2018 4:11 pm

Bonjour professeur , juste une remarque sur la norme induite , dans A , quand on travaille dans A , en fixant une base , On peut dire que la norme induite est équivalente a la norme infinie dans A ?

si c'est le cas alors on tient une seconde preuve , la convergence par rapport a la norme infinie équivaut a la convergence des composantes sur la base qu'on a fixée , donc la limite s’écrit sur la même base , et reste donc dans A .
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par matmeca_mcf1 » lun. avr. 16, 2018 4:17 pm

Oui, la norme induite sur A par la norme de E est équivalente à n'importe quelle norme sur A puisque A est de dimension finie.
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par siro » lun. avr. 16, 2018 5:01 pm

mechiche a écrit :
lun. avr. 16, 2018 4:08 pm
Merci à vous deux pour vos réponses, je comprends maintenant.

Dernière petite question ? \( \mathbb{Q} \) est bien un \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel de dimension \( 1 \) non ?
Bah non, si c'était un sev de R, alors pour tout u \in R et tout X \Q, u.X \in Q. Or pour u = \sqrt(2) et X = 1 \in Q, ça ne fonctionne pas.

Tout R-ev a la puissance du continu en fait. (sauf {0})
Modifié en dernier par siro le lun. avr. 16, 2018 6:06 pm, modifié 1 fois.
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par darklol » lun. avr. 16, 2018 5:15 pm

siro a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:01 pm
Tout R-ev a la puissance du continu en fait.
Le \( \mathbb{R} \)-ev \( \{0\} \) aussi du coup?
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par bullquies » lun. avr. 16, 2018 5:24 pm

Tout* R-ev

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par BijouRe » lun. avr. 16, 2018 5:31 pm

Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par Sylve » lun. avr. 16, 2018 5:38 pm

Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.
Modifié en dernier par Sylve le lun. avr. 16, 2018 5:44 pm, modifié 2 fois.

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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par siro » lun. avr. 16, 2018 5:41 pm

darklol a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:15 pm
siro a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:01 pm
Tout R-ev a la puissance du continu en fait.
Le \( \mathbb{R} \)-ev \( \{0\} \) aussi du coup?
Bien vu. :mrgreen:
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Re: Sous-espace vectoriel fermé

Message par matmeca_mcf1 » lun. avr. 16, 2018 5:50 pm

Sylve a écrit :
lun. avr. 16, 2018 5:38 pm
Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.
Appelons B la boule unité fermé de E. \( B\cap A \) est fermée dans \( A \) mais \( B\cap A \) n'est pas forcément fermé dans \( E \). On passe par la compacité (ou la complétude qui est hors programme) car ce sont des propriétés intrinsèques. \( B\cap A \) est compact et "non compact dans E" ou "compact dans A". Alors qu'un ensemble est fermé dans un autre ensemble, la propriété n'est pas "intrinsèque" (terminologie personnelle non officielle). La notion de fermé dépend de l'espace normé dans lequel on se place. Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.
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