Sous-espace vectoriel fermé
Re: Sous-espace vectoriel fermé
Tout* R-ev
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Sous-espace vectoriel fermé
Bolzano Weierstrass assure que la valeur d'adhérence appartienne à A ?
2015-2016 : MPSI Janson de Sailly
2016-2017 : MP* Janson de Sailly
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Re: Sous-espace vectoriel fermé
Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.
Dernière modification par Sylve le 16 avr. 2018 17:44, modifié 2 fois.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
Bien vu.
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $. On passe par la compacité (ou la complétude qui est hors programme) car ce sont des propriétés intrinsèques. $ B\cap A $ est compact et "non compact dans E" ou "compact dans A". Alors qu'un ensemble est fermé dans un autre ensemble, la propriété n'est pas "intrinsèque" (terminologie personnelle non officielle). La notion de fermé dépend de l'espace normé dans lequel on se place. Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.Sylve a écrit : ↑16 avr. 2018 17:38Je comprends pas trop où on utilise Bolzano-Weierstrass dans la preuve de l'auteur, il me semble plutôt qu'on dit que la suite (an) est dans une boule fermée bornée intersectée avec A, qui est donc un fermé borné pour la topologie induite sur A (et donc un compact de A) et admet donc une VAD dans A inter la boule et donc dans A.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
J'ai du mal à vous suivre. Je ne vois pas pourquoi vous dited que la compacité est plus intrinsèque que le fait d'être fermé, puisque comme vous l'avez dit ces deux propriétés dépendent de l'espace sur lequel on se place.
Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.
Je crois qu'il y avait juste mésentente sur ce qu'on appelle Bolzano-Weierstrass, mais ça doit revenir au même.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
@Sylve Je pense que ces subtilités topologiques peuvent justement être un peu trop subtiles pour un élève de prépa. Commence par méditer cette phrase de matmeca_mcf1:
Appelons B la boule unité fermé de E. $ B\cap A $ est fermée dans $ A $ mais $ B\cap A $ n'est pas forcément fermé dans $ E $.
ENS Lyon
Ingénieur de recherche
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Re: Sous-espace vectoriel fermé
Effectivement pardon, c'est seulement un $ \mathbb{Q} $-espace vectoriel.
Je voulais dire que c'était étrange alors que le théorème ne s'applique pas à $ \mathbb{Q} $, qui est un ouvert, mais comme l'a signalé matmeca
matmeca_mcf1 a écrit : ↑16 avr. 2018 17:50Tout ensemble est fermé dans lui-même. Et ouvert dans lui-même.
Re: Sous-espace vectoriel fermé
C'est l'idée de fermé relatif ?
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