X-ENS Maths 2018 Epreuve A MP

[BijouRe]

Ces génies à l'X ont distribué le sujet de maths B

Il à l'air gentillet ce sujet .

Comment ca ?

[oty20]

ce sujet ressemble beaucoup dans l'esprit a celui de 2016 , probablement les résultats seront similaire .

[JeanN]

Voici un pdf du sujet.

[noro]

tu as passé l’épreuve @noro ? j’espère que cela c'est bien passé pour toi .

Le sujet semble beau .

Je l'ai passé mais je l'ai moyennement réussi...
La question 9 m'a perdu énormément de temps et je n'ai pas réussi à la faire au final

[Desert]

Hécatombe

[dSP]

Le nombre de candidats ayant réussi 9.c doit se compter sur les doigts d'une main de la Vénus de Milo.

[Hibiscus]

Ris pas de la pauvre Vénus...La pauvre vieille casserole.

Sur le rapport, ils mettront encore un truc du style "on s'étonne de la rareté des réponses ne serait-ce qu'approximativement correctes à une question de difficulté pourtant moyenne, sinon médiocre"..

[matmeca_mcf1]

Je dirais que le concepteur du sujet connait bien l'analyse numérique matricielle: norme de Frobenius, décomposition en valeurs singulières. La question 9c m'étonne aussi. Cela me semble effectivement très difficile pour des élèves de prépa. Pour moi, il manque une question intermédiaire du style :
"Soit M de noyau B sev de dimension p-l, exprimer A et M dans une base orthonormale (espace de départ) adaptée à $ B\oplus B^\bot $. En déduire $$ \min_{M\in\mathcal{M}^l_{n,p}(\mathbb{R}),Ker(M)=B}[\lVert A-M\rVert_F $$ et le $ M $ où ce minimum est réalisé". Il faudrait probablement rerédiger cette question intermédiaire pour faire le lien entre $ \tilde{V} $ et la base orthonormale adaptée de $ B^\bot $.

EDIT:Correction l->p-l

[Hibiscus]

Je dirais que le concepteur du sujet connait bien l'analyse numérique matricielle

C'est pas Bertrand Rémy qui l'a écrit celui-là ?

[dSP]

Les deux dernières parties sont consternantes sur le fond : la présentation formelle du résultat final, à savoir l'espace tangent à la variété des matrices de rang $ k $ en $ A $, est imbitable, alors qu'il s'agit tout simplement de l'ensemble des matrices envoyant le noyau de $ A $ dans l'image de $ A $. Quant à la méthode, il y a infiniment plus simple et naturel :
dans le cas particulier où $ A=J_k $, on montre qu'un voisinage de $ A $ dans l'espace des matrices de rang $ k $ est l'ensemble des matrices représentées par blocs sur la forme $ \begin{pmatrix}
N & C \\
B & BN^{-1} C
\end{pmatrix} $ avec $N$ inversible de taille $ k $, et $ B $ et $ C $ de formats appropriés. A partir de là, il est très facile d'obtenir que l'espace tangent en $ J_k $ est l'ensemble des matrices de la forme $ \begin{pmatrix}
N & C \\
B & 0
\end{pmatrix} $, et la généralisation à une matrice quelconque de rang $ k $ se fait naturellement.