Concours commun des mines MP MATHS 2

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par galois18 » 08 mai 2018 21:46

En MP, je sais pas mais en PC, toutes les révisions que jai pu faire ne m'ont pas servi pour l'épreuve de math 2 de cette apm.
Vraiment ardue pour moi.......

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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par matmeca_mcf1 » 08 mai 2018 22:31

La partie B est sur l'existence d'une racine carré pour une matrice inversible. J'ai vu ce genre de résultats en dimension infini pour des opérateurs linéaires dans le Kato "Perturbation theory". Le résultat servait d'intermédiaire à des résultats de théorie spectrale en dimension infinie.

Pour la partie C, on applique un Newton à des matrices. D'habitude, Newton est présenté sur des vecteurs. Le but de la partie et en particulier de la question 13 est de démontrer que, localement, Newton converge quadratiquement (en gros, à chaque itération, l'erreur est de l'ordre du carré de l'erreur commise à l'itération précédente), ce qui est vrai dans le cas général dès que f est suffisamment régulier et dès que $ df(x^*) $ est inversible. Ici, comme F est une application qui envoie une matrice sur une matrice, l'écriture de Newton est un peu différente mais cela ne change rien sur le fond (on pourrait écrire les matrices sous formes de vecteurs colonnes en utilisant une numérotation). Si je me rappelle bien, Newton est au programme mais la convergence quadratique locale ne l'est pas. La convergence quadratique locale signifie que si on est assez proche de la solution, à chaque itération, le nombre de chiffre significatif exact est à peu près multiplié par 2 (en gros, cela dépend de la constante). Par contre il n'est pas garanti que Newton converge si on part loin de la solution. C'est pour cela qu'en général, on aime démarrer Newton en initialisant avec une approximation de la solution qu'on a pu obtenir avec une autre méthode.

Dans la fin de la partie D, on étudie la convergence d'un algorithme en se plaçant dans une base appropriée (ici base orthonormale dans laquelle A est diagonale). Une base que l'on ne sait pas calculer facilement sinon on n'aurait pas besoin de l'algorithme mais on n'a pas besoin de calculer cette base, juste de connaître son existence. C'est très courant comme technique pour estimer les vitesses de convergence de diverses méthodes numériques. Précision: en analyse numérique, on travaille souvent avec des matrices carrés de taille 1000, 10000, ou plus. On ne va pas faire de résolution à la main.

Dans la partie E, on parle de stabilité d'un algorithme. Comme on ne fait pas des calculs exacts, mais des calculs en virgule flottante, chaque itération sera entachée d'une petite erreur de calcul. Quel est l'impact de ces erreurs sur l'algorithme? S'il est "petit", on parlera d'algorithme stable numériquement. On introduit le conditionnement dans la dernière question. En général, le conditionnement d'une matrice est noté $ \kappa(A) $ et est défini par $ \lVert A\rVert_2\lVert A^{-1}\rVert_2 $. Pour les matrices symétriques, il est égal comme indiqué dans le sujet à $ {\max_{\lambda\in Sp(A)}\lvert\lambda\rvert}/{\min_{\lambda\in Sp(A)}\lvert\lambda\rvert} $. Le conditionnement intervient dans de nombreux résultats de convergence et de stabilité. Typiquement, une matrice avec un conditionnement grand sera dite mal conditionnée. Plus une matrice A est mal conditionnée, plus il est difficile de résoudre Ax=b, et plus il faut un algorithme robuste et il faut préconditionner, ie trouver M facilement inversible tel que $ M^{-1}A $ soit bien conditionnée.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
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Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » 08 mai 2018 23:17

Syl20 a écrit :
08 mai 2018 19:30
Il me semble qu'il faut remplacer k par k+1 dans le terme de gauche non ?
oui pareille pour moi , je pense que cela dépend du choix de rho , si on prend $ \rho=r $ , on tombe sur ce problème , il fallait travailler avec rho comme paramètre établir la récurrence puis choisir rho pour que cela marche . Mais bon , j’espère que cela sera pas trop pénalisant vu que la conclusion est la même pour rho suffisamment petit .
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par Nabuco » 08 mai 2018 23:30

oty20 a écrit :
08 mai 2018 23:17
Syl20 a écrit :
08 mai 2018 19:30
Il me semble qu'il faut remplacer k par k+1 dans le terme de gauche non ?
oui pareille pour moi , je pense que cela dépend du choix de rho , si on prend $ \rho=r $ , on tombe sur ce problème , il fallait travailler avec rho comme paramètre établir la récurrence puis choisir rho pour que cela marche . Mais bon , j’espère que cela sera pas trop pénalisant vu que la conclusion est la même pour rho suffisamment petit .
Si on change k en)k+1 on doit montrer rhô<=rhô ^2 si je ne m abuse ce qui est clairement faux pour rho petit.
Et comme je l ai dit au dessus si on ne change rien on est ramené à montrer que C peut être pris plus petit que 1.
Si qqun a une vraie solution qui ne consiste pas en de vagues explications je pense que tout le monde serait intéressé...

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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par matmeca_mcf1 » 09 mai 2018 00:19

La solution ne va pas vous plaire mais elle se trouve à la première page de l'énoncé
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre
L'inégalité à montrer aurait dû être
$$
\lVert X_k-X^*\rVert\leq\frac{(\rho C)^{2^k}}{C}.
$$
Cela ne change rien au reste de l'épreuve. Et j'en suis sûr parce qu'on souhaite prouver la convergence quadratique locale de l'algorithme de Netwon dans ce cas particulier (cela reste vrai dans le cas général moyennant des hypothèses de régularité) et il n'y a que le $ 2^k $ en exposant qui a de l'intérêt dans cette formule. Et vous forcer à prendre $ C\geq 1 $ ne servirait strictement à rien.
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » 09 mai 2018 00:28

$ g=(dF_{x})^{-1} $ est linéaire donc continue en dimension finie , on dispose donc de C >0 telle que :
$ ||g(M)|| \leq C ||M|| $ pour toute matrice M dans Mn(C)

pour $ X $ dans la boule X etoile ,r , Posons $ H=X-X^{*} $
d’après 11)

$ ||G(X)-G(X^{*})|| \leq C ||H^{2}|| \leq C||H||^{2}=C ||X-X^{*}||^{2} $ , la suite (X_{k}) peut donc être définie , comme une suite récurrente $ X_{k+1}=G(X_{k}) $ , je pose $ X^{*}=B $ pour simplifier latex ; B est un point fixe de G .

il vient que $ ||X_{k+1}-B|| \leq C ||X_{k}-B||^{2}=(\sqrt{C} ||X_{k}-B||)^{2} $ , soit $ ||X_{k}-B||\leq (\sqrt{C} ||X_{0}-B||)^{2^{k}} \frac{1}{\sqrt{C}} $
$ C||X_{k+1}-B|| \leq (C||X_{k}-B||)^{2} \leq (C||X_{k-1}-B||)^{4=(k+1)-(k-1)} \leq (C||X_{k-2}-B||)^{2^{k+1-(k-2)} }
\\ \leq (C ||X_{k-p}-B||)^{2^{k+1-(k-p)}} $

pour $ p=k $ , on tire $ C||X_{k+1}-B|| \leq (C ||X_{0}-B||)^{2^{k+1}} $ par choix de $ ||X_{0}-B|| \leq \frac{\rho}{\sqrt{C}} $ , pour $ \rho $ suffisamment petit . On obtient bien l'égalité demandé
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par Nabuco » 09 mai 2018 00:45

Je suis d accord que remplacer racine de C par C clairement semble la chose à faire d autant que ça ne change pas la conclusion, mais je voulais savoir si la question était vraie ou non (pour moi les concours sont du passé, mais je suis sur que certains auraient apprécié de savoir si c était vrai ou pas)
Oty20 je ne suis pas d accord avec l initialisation. L hérédité est simple. A la fin vous dites pour rho assez petit |X0-b|<rho/racine(C). L énoncé nous demande de fixer rho puis de montrer que pour tout X0 dans la.boule de centre b et de rayon rho on a l inégalité et ce n est pas ce qui est fait en effet sinon on obtient rho<= rhô/racine(C) ce qui est faux sans plus de détail..
Le problème c est que le rho est fixé avant de choisir X0 et inversement.
Passons aussi sur le fait que dans la rédaction donnée rien n assure la définition de Xk contrairement à ce qui est dit, c est la majoration par récurrence et le bon choix de rho qui l assure ( le fait de se placer dans B(B,r) N est pas suffisant il n y a pas de raison que ce soit stable par G
Dernière modification par Nabuco le 09 mai 2018 00:56, modifié 1 fois.

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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par oty20 » 09 mai 2018 00:54

on peut prendre des le début $ \rho=\frac{r\sqrt{C}}{2} $ par exemple $ \frac{\rho}{\sqrt{C}} < r $
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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par Nabuco » 09 mai 2018 01:00

Ça me change rien du tout, essayez de prouver que si X0 appartient à la boule de centre B et de rayon rho alors |X0-B|<= rhô /racine (C) cela ne marche pas.
J ai rajouté dans mon précédent commentaire une remarque sur la définition de Xk qui est réellement mal traitée ou peu compréhensible

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Re: Concours commun des mines MP MATHS 2

Message par matmeca_mcf1 » 09 mai 2018 01:01

oty20. Vous avez encore des épreuves à passer demain. Vous ne devriez pas être sur le forum et vous devriez déjà être en train de dormir.
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