Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Messages : 0

Inscription : 31 juil. 2016 21:55

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Isacu » 15 avr. 2017 09:14

à priori il y a au moins tout une famille de transformations A qui sont solutions de cet ensemble (je les donne dans la balise spoiler) après je sais pas encore si se sont les seules.
SPOILER:
toutes les rotations orthogonales autour d'un axe (quelconque) d'angle 2pi/q pour savoir si c'est les seuls, il faudrait voir si on peut décomposer toutes les solutions en produit de cet ensemble.
L3 Physique/Math ENS Lyon

Messages : 0

Inscription : 08 juin 2016 21:39

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Zetary » 23 avr. 2017 19:44

Déjà toute solution est diagonalisable, ce qui restreint un peu les recherches

Messages : 0

Inscription : 22 mai 2017 12:59

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Jarjar666 » 12 juin 2017 18:41

Bon un exo rigolo.
Une matrice M de Mn(IK) est dite magique si :
Il existe une constante D telle que :
Pour toute les lignes de M , la somme des coefficients de M sur cette ligne vaut D
Même chose pour les colonnes de M
La somme des termes diagonaux vaut aussi D
La somme de termes de l'autre diagonale vaut aussi D (les m(n-i+1,i).

Montrer que les matrices magiques forment un EV dont on déterminera une base.

Messages : 0

Inscription : 08 juin 2016 13:20

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Samuel.A » 21 août 2017 00:06

Soient (a,b) deux nombres complexes
On note Ma et Mb respectivement des matrices magiques de Mn(C) associées à a et à b. (On peut le faire en effet étant donné un nombre d il suffit de considérer la matrice remplie de 1 que multiplie le scalaire d/n)
Il est acquis, par les définitions de l'addition de matrices et de la multiplication de celles ci par un scalaire, par commutativité de l'addition et distributivité de la multiplication dans C, que l'ensemble des matrices magiques est stable par combinaisons linéaires. C'est donc un sev de Mn(C).
Par contre je peux seulement conjecturer dur la dimension de cet espace qui me semble être engendré uniquement par la matrice remplie de 1 ce serait donc un espace de dimension 1 dont cette matrice est une base.

Je ne sais cependant pas comment le prouver... :/
Si qqun pouvait m'éclairer ! :D

Messages : 143

Inscription : 18 juin 2008 19:39

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par bubulle » 21 août 2017 22:59

Sauf erreur, c'est faux.
J'avais regardé cet exercice malheureusement je n'ai pas gardé mes notes.
De mémoire, (en supposant n>2) j'avais regardé, partant d'une matrice magique de dimension n, quelles étaient les conditions sur la matrice de dimension (n-2) "incluse" dans la première matrice (en gros la matrice formée en "enlevant les bords" de la matrice initiale), pour que la première puisse être effectivement magique (et alors quelles valeurs donner aux bords).
C'était assez fastidieux mais de mémoire ca permettait d'exhiber une base.

Messages : 0

Inscription : 08 juin 2016 13:20

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Samuel.A » 22 août 2017 10:27

Oui c'est évident que je suis allé trop vite et je crois finalement que c'est bien trop compliqué pour moi haha, merci en tout cas !

Messages : 0

Inscription : 13 févr. 2018 09:22

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par matmeca_mcf1 » 07 mai 2018 22:48

Voici un lemme pratique sur les matrices complexes. On admet d'Alembert. On note $ A^\mathrm{H} $ le conjugué de la transposée de $ A $. J'espère que les matrices complexes et les bases orthonormales pour des ev sur C sont encore au programme. Sinon, je vais devoir sortir la version réelle et c'est plus compliqué. En prépa, on nous avait démontré la diagonalisabilité des matrices symétriques et hermitiennes sans passer par Schur mais je trouve que c'est plus pratique avec.

Décomposition de Schur complexe
Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer qu'il existe une matrice orthonormale $ P $ (ie tel que $ P^\mathrm{H}P=I $) tel que $ U=P^\mathrm{H}AP $ soit une matrice triangulaire supérieure.

Conséquences
  1. Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ hermitienne ($ A^\mathrm{H}=A $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale et que les éléments sur la diagonale sont réels.
  2. Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ normale ($ A^\mathrm{H}A=AA^\mathrm{H} $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.

Messages : 0

Inscription : 08 juin 2016 21:39

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par Zetary » 07 mai 2018 23:15

Non il n'y a aucun produit hermitien au programme

Messages : 0

Inscription : 13 févr. 2018 16:41

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par noro » 17 mai 2018 17:24

matmeca_mcf1 a écrit :
07 mai 2018 22:48
Voici un lemme pratique sur les matrices complexes. On admet d'Alembert. On note $ A^\mathrm{H} $ le conjugué de la transposée de $ A $. J'espère que les matrices complexes et les bases orthonormales pour des ev sur C sont encore au programme. Sinon, je vais devoir sortir la version réelle et c'est plus compliqué. En prépa, on nous avait démontré la diagonalisabilité des matrices symétriques et hermitiennes sans passer par Schur mais je trouve que c'est plus pratique avec.

Décomposition de Schur complexe
Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer qu'il existe une matrice orthonormale $ P $ (ie tel que $ P^\mathrm{H}P=I $) tel que $ U=P^\mathrm{H}AP $ soit une matrice triangulaire supérieure.

Conséquences
  1. Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ hermitienne ($ A^\mathrm{H}=A $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale et que les éléments sur la diagonale sont réels.
  2. Soit $ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ normale ($ A^\mathrm{H}A=AA^\mathrm{H} $). Soit $ A=PUP^\mathrm{H} $ une de ses décompositions de Schur. Montrez que $ U $ est diagonale.
Bon je le tente.
Montrons par récurrence par n que qu'on dispose d'une base de trigonalisation de $A$ pour $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
Initialisation: n=1 ok.
Hérédité:
Soit $A\in\mathcal M_{n+1}(\mathbb C)$.
On dispose de $\lambda\in \mathbb C$ tel que $Ker(A-\lambda I_{n+1})\neq {0}$,
donc on dispose d'une base $(E_1, ... E_{n+1})$ telle que $A(E_1) = \lambda E_1$.
Ainsi, dans cette base, si $P=(E_1|...|E_{n+1}), A = P
\begin{pmatrix}
\lambda & * \\
0_{n,1} & A'
\end{pmatrix}P^{-1}$
or on dispose de $E'_1,...,E'_n$ une base de trigonalisation de $A'$.
alors $B_1,...B_{n+1}$, telle que $B_1=E_1$ et $B_i = P\begin{pmatrix} 0 \\ E'_i \end{pmatrix}, \forall i \in \{2,...,n+1\}$, est une base de trigonalisation de A.
Conclusion : Par récurrence A est trigonalisable (Ce résultat est au programme mais j'ai préféré le redémontrer).

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Montrons l'existence de $P\in GL_n(\mathbb C)$ telle que $P^HP=I_n$ et $P^HAP$ soit triangulaire supérieure.
On pose $||X||=\sqrt{X^HX}$ pour tout $X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb C)$
On dispose de $E_1,...E_n$ une base de trigonalisation de A on défini alors (de manière analogue à gramm-schmidt dans $\mathbb R$)
$B_1 = \frac{E_1}{||E_1||}$
$B_2 = \frac{E_2 - (B_1^HE_2)B_1}{||E_2 - (B_1^HE_2)B_1||}$
....
$B_n = \frac{E_n - (B_{n-1}^HE_n)B_{n-1} - ... - (B_1^HE_n)B_1 }{||E_n - (B_{n-1}^HE_n)B_{n-1} - ... - (B_1^HE_n)B_1 ||}$

Alors en posant $P = (B_1|...|B_n)$ on a bien $P^HP=(^t\bar{B_i}B_j)_{i,j}=I_n$ et $A(B_i)\in Vect(B_1,...,B_i)$ donc $P^HAP$ est triangulaire supérieure.

1/
Si $ A=PUP^\mathrm{H} $ est hermitienne avec $U$ triangulaire supérieure.
Alors $U^H=U$ donc $U$ est diagonale et les éléments diagonaux sont réels.
Nothing happened.
-------------------------------------------
L3 Maths-Info

Messages : 6

Inscription : 30 avr. 2017 01:48

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 18 mai 2018 00:31

je me trompe ou c'est la Méthode de Householder ?
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

Répondre