Les dattes à Dattier

[Siméon]

@Dattier : c'est plus simple à expliquer qu'à formaliser, mais je vais tout de même essayer sur ce cas particulier (sans garantie). Soit $\phi \in C^\infty(\mathbb R;\mathbb R)$ nulle en dehors de $[0,1]$. Le complémentaire de l'ensemble de Cantor se partitionne en union disjointe dénombrable $\bigcup_{n=0}^{+\infty} \bigcup_{k=1}^{2^n} \mathopen ]a_{n,k}; b_{n,k}\mathclose[$ avec $b_{n,k} - a_{n,k} = \frac1{3^{n+1}}$. On vérifie alors que la série de fonctions suivantes converge normalement, ainsi que toutes ses dérivées :
$$
x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=1}^{2^n} \frac1{n!}\phi\!\left(\frac{x-a_{n,k}}{b_{n,k}-a_{n,k}}\right)
$$
On peut sans problème choisir $\phi$ strictement positive sur $\mathopen]0,1\mathclose[$ et constante sur aucun sous-intervalle non trivial.

[Siméon]

Je dirais que c'est plutôt : (4) tu as mal compris la construction.

Pour un choix de $\phi$ tel qu'indiqué à la fin, la fonction est nulle sur l'ensemble de Cantor et strictement positive sur son complémentaire dans $]0,1[$.

[noro]

Bonjour,

énoncé 101 : polynômes et limite simples non continues.
Soit $ f_n $ une suite de polynômes réels qui convergent simplement vers $g$ sur $\mathbb R$, avec $g$ non continue.
A-t-on alors l'existence de $a,b\in \mathbb R^2$ tel qu'il y ait une sous suite de $f_n''(a)$ qui converge vers $+ \infty$ et de $f_n''(b)$ qui converge vers $-\infty$ ?

Bonne journée.

Il me semble que la réponse est non, par exemple:
$ f_n(x)=(1-(x/n)^2)^n $ CVS vers l'indicatrice de {0} sur $ \mathbb R $
et $ f_n'(x) = -2(x/n)(1-(x/n)^2)^{n-1} $ donc $ f_n''(x) = 4(n-1)(x/n)^2(1-(x/n)^2)^{n-2} -2(1-(x/n)^2)^{n-1}/n $ CVS vers 0 sur $ \mathbb R $

[noro]

Ah non en fait fn ne converge pas vers l'indicatrice de {0}, je me suis trompé
je vais essayer de corriger ça

[noro]

$ (1-x^2/\sqrt n)^n $ cela marche me semble-t-il.

Cette fonction CVS vers l'indicatrice de {0} mais $ f_n''(0) = -2\sqrt(n) $ tend vers $ -\infty $
et $ f_n''(1) = 4(n-1) + o(n) $ tend vers $ +\infty $

[noro]

Il faut quand même que $ f_n $ soit polynomiale.
Bon la je crois que ça fonctionne:
On pose $ g_n(x) = exp(-nx^2) $ qui CVS vers l'indicatrice de {0}
alors $ g_n'(x) = -2nxexp(-nx^2) $ et $ g_n''(x) = 4n^2x^2exp(-nx^2) -2nexp(-nx^2) $
Si a est un réel non nul, $ g_n''(a) = o(1) $, sinon si a = 0, $ g_n''(0) = -2n $ tend vers $ -\infty $.
Soit $ f_n $ une suite de polynômes tels que $ sup_{[-n,n]}|f_n''-g_n''| < 1/n^4 $ et $ f_n'(0) = g_n'(0), f_n(0) = g_n(0) $
Alors $ f_n $ CVS vers l'indicatrice de {0} et $ f_n''(a) $ ne diverge vers +l'infini pour aucun $ a \in \mathbb R $

[noro]

énoncé 134 : jamais bijectif 4
Soit $p>5$ premier, $P,Q \in \mathbb F_p[x]$ tel que $P,Q$ bijections.
A-t-on $P+Q$ n'est pas une bijection ?

Si $P=X, Q=-X$ alors $P+Q$ n'est pas une bijection.
Si $P=2X, Q=-X$ alors $P+Q$ est une bijection.
Conclusion on ne peut pas savoir si la somme de deux polynômes bijectifs est bijective.

[noro]

énoncé 133 : jamais bijectif 3
Soit $p>5$ premier, $P \in \mathbb F_p[x]$ tel que $\text{deg}(P)=4$.
A-t-on $P$ qui n'est pas bijectif ?

Pas forcément par exemple $P=3X^4-5X^3+4X^2$ est bijectif dans $F_7$ :
P(0)=0
P(1)=2
P(2)=3
P(3)=4
P(4)=1
P(5)=6
P(6)=5

[oty20]

énoncé 137 : polynôme et pgcd 2
$ P,Q\in \mathbb Z[x] $ avec $\gcd(Q(x),P(x))=1$ et $P,Q$ unitaire.
A-t-on, $\forall a \in \mathbb Z, \exists b\in \mathbb Z_{\geq a}, \gcd(P(b),Q(b))=1$ ?

No $ P(x)=x(x+1) $ , $ Q(x)=2x+4 $ , alors $ pgcd(P,Q)=1 $ (aucune racine commune)

le produit x(x+1) est toujours paires (deux entiers consécutifs ) donc pour tout $ 2|pgcd(P(n), Q(n)) $

[oty20]

énoncé 86 : une jolie question d'arithmétique
$ \text{ Soit }a_1,...,a_{500}\text{ une suite finie d'entier distincts dans }[1,3000].
\\\text{A-t-on : l'existence d'un couple }a_i\neq a_j \text{ avec gcd}(a_i,a_j)>1 ? $

il y a $ 430 $ nombres premiers dans l'intervalle $ [[1,3000] $ , comme on choisit 500 entier distincts , il existe donc au moins un nombre premier $ p $ qui apparaît dans la décomposition en facteur premier d'au moins deux d'entres eux avec une puissance $ \geq 1 $ , notons les $ a_{i} $ et $ a_{j} $ le couple $ (a_{i},a_{j}) $ convient .