Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par oty20 » 02 juin 2018 23:17

Une inégalité différentielle :

$ h : ]-1,1[ \to \mathbb{R} $ deux fois dérivable , telle que :

$ \forall x \in ]-1,1[ : ~~~~~~|h''(x)| \leq |h'(x)|+|h(x)|, ~~~~~~~h(0)=h'(0)=0 $

que dire de $ h $ ?
Dernière modification par oty20 le 07 juin 2018 08:44, modifié 2 fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gchacha » 03 juin 2018 18:01

Salut, voici un classique d'algèbre linéaire :

On considère un $ \mathbb{K}- $ev, $ E $ tel que : $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} F_i $. On pose $ \pi_i(x)=x_i $ où $ x_i \in F_i $. Montrer alors que les $ \pi_i $ sont des projecteurs et vérifient : $ \pi_i \circ \pi_j = 0 $ pour $ i\neq j $ et $ \pi_1+...+\pi_q=id $. On dira que les $ \pi_i $ forment un système complet de projecteurs.
Réciproquement, montrer que si les $ \pi_i $ forment un système complet de projecteurs alors $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} Im(\pi_i) $.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Almar » 03 juin 2018 20:36

gchacha a écrit :
03 juin 2018 18:01
On considère un $ \mathbb{K}- $ev, $ E $ tel que : $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} F_i $. On pose $ \pi_i(x)=x_i $ où $ x_i \in F_i $. Montrer alors que les $ \pi_i $ sont des projecteurs.
On a pas un contre exemple avec :
On considère la base canonique (e1,e2,e3)
$ E = vect \{e_1 , e_2\} \oplus vect\{e_3\} $
Avec $ \pi_1 (e_1) = e_2 $
$ \pi_1 (e_2) = e_1 $
$ \pi_2 (e_3) = 2e_3 $ ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par JeanN » 03 juin 2018 21:27

Almar a écrit :
03 juin 2018 20:36
gchacha a écrit :
03 juin 2018 18:01
On considère un $ \mathbb{K}- $ev, $ E $ tel que : $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} F_i $. On pose $ \pi_i(x)=x_i $ où $ x_i \in F_i $. Montrer alors que les $ \pi_i $ sont des projecteurs.
On a pas un contre exemple avec :
On considère la base canonique (e1,e2,e3)
$ E = vect \{e_1 , e_2\} \oplus vect\{e_3\} $
Avec $ \pi_1 (e_1) = e_2 $
$ \pi_1 (e_2) = e_1 $
$ \pi_2 (e_3) = 2e_3 $ ?
une fois posée la somme directe, tu n'as plus trop le choix de la définition des Pi_i
Ton exemple ne convient pas.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Almar » 03 juin 2018 21:49

Je ne comprends pas ce qui ne fonctionne pas... Pour les Pi_i étant tous égaux à l'endomorphisme nul on a aussi $ \pi_i(x) = 0 \in F_i $ ?

J'ai l'impression de ne pas saisir quelque chose et de paraître totalement stupide...
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Retard » 03 juin 2018 21:58

oty20 a écrit :
02 juin 2018 21:46
matmeca_mcf1 a écrit :
02 juin 2018 19:13
Soit $ 0<a<1 $ et $ 0<b<1 $ . Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $, la suite définie par
$$
u_0=a\\
u_1=b\\
u_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}})\quad\forall n\geq1
$$


Exo sympa , la première question semble sans difficulté majeure , voici ma proposition pour la convergence : on a une relation de type $ u_{n+1}=h(u_{n},u_{n-1}) $ , avec $ h(x,x)=\sqrt{x} >x ,~~ x \in [0,1] $ et
$ h(x,x) < x , ~~ x > 1 $ , on va montrer que $ u_{n} \to 1 $ .

En effet de l'encadrement plus tôt , on tire que $ h $ est continue $ (1,1) $ et $ h(1,1)=1 $ .

Définissons $ (v_{n}) $ de sorte que ; $ v_{0}=v_{1}=min(a,b) $ et $ v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) $ . pour $ n\geq 1 $ .
Comme $ min(a,b) < 1 $ on a :
$ v_{2}=h(v_{1},v_{0})=h(v_{1},v_{1}) > v_{1} $ ,
$ v_{3}=h(v_{2},v_{1}) > h(v_{1},v_{1}) =v_{2} $ , car $ h $ est croissante en chacune de ces variables
$ v_{4} =h(v_{3},v_{2}) > h(v_{2},v_{1})>v_{3} $ , de manière général $ v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) > h(v_{n-1},v_{n-2})=v_{n} $ donc $ (v_{n}) $ est croissante majorée par $ 1 $ donc convergente vers 1 , de plus on a $ v_{n} \leq u_{n} $ , on définit $ (w_{n}) $ de manière analogue ; mais avec $ w_{0}=w_{1}=max(a,b) <1 $ , une étude similaire amène a la convergence de $ (w_{n}) $ vers 1 , comme $ v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} $ , il n'en faut pas plus , sauf erreure .
Pour la 2, je n'ai rien écrit mais n'y a t il pas moyen d'utiliser le théorème des gendarmes avec v_n définie par v_(n+1)= sqrt(v_n) et v1=sqrt(a+b) ?
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Message par Retard » 03 juin 2018 22:07

Almar a écrit :
03 juin 2018 21:49
Je ne comprends pas ce qui ne fonctionne pas... Pour les Pi_i étant tous égaux à l'endomorphisme nul on a aussi $ \pi_i(x) = 0 \in F_i $ ?

J'ai l'impression de ne pas saisir quelque chose et de paraître totalement stupide...
Je pense que tu n'as pas compris l'énoncé... Mais moi non plus parce qu'en ce qui me concerne j'ai l'impression que par définition les pi sont des projecteurs.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Almar » 03 juin 2018 22:14

Je ne comprends pas la définition des Pi_i. J'imagine bien qu'on utilise la décomposition unique dans la somme directe mais dans l'énoncé j'ai juste l'impression qu'on choisi l'image comme on veut dans le sous espace.
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Message par matmeca_mcf1 » 03 juin 2018 22:17

Retard a écrit :
03 juin 2018 21:58
Pour la 2, je n'ai rien écrit mais n'y a t il pas moyen d'utiliser le théorème des gendarmes avec v_n définie par v_(n+1)= sqrt(v_n) et v1=sqrt(a+b) ?
On prendrait $ v_0=v_1=\min(a,b) $.
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Message par Retard » 03 juin 2018 22:31

J'ai oublié un 1/2 devant la racine
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