Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Une inégalité différentielle :
$ h : ]-1,1[ \to \mathbb{R} $ deux fois dérivable , telle que :
$ \forall x \in ]-1,1[ : ~~~~~~|h''(x)| \leq |h'(x)|+|h(x)|, ~~~~~~~h(0)=h'(0)=0 $
que dire de $ h $ ?
$ h : ]-1,1[ \to \mathbb{R} $ deux fois dérivable , telle que :
$ \forall x \in ]-1,1[ : ~~~~~~|h''(x)| \leq |h'(x)|+|h(x)|, ~~~~~~~h(0)=h'(0)=0 $
que dire de $ h $ ?
Dernière modification par oty20 le 07 juin 2018 08:44, modifié 2 fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Salut, voici un classique d'algèbre linéaire :
On considère un $ \mathbb{K}- $ev, $ E $ tel que : $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} F_i $. On pose $ \pi_i(x)=x_i $ où $ x_i \in F_i $. Montrer alors que les $ \pi_i $ sont des projecteurs et vérifient : $ \pi_i \circ \pi_j = 0 $ pour $ i\neq j $ et $ \pi_1+...+\pi_q=id $. On dira que les $ \pi_i $ forment un système complet de projecteurs.
Réciproquement, montrer que si les $ \pi_i $ forment un système complet de projecteurs alors $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} Im(\pi_i) $.
On considère un $ \mathbb{K}- $ev, $ E $ tel que : $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} F_i $. On pose $ \pi_i(x)=x_i $ où $ x_i \in F_i $. Montrer alors que les $ \pi_i $ sont des projecteurs et vérifient : $ \pi_i \circ \pi_j = 0 $ pour $ i\neq j $ et $ \pi_1+...+\pi_q=id $. On dira que les $ \pi_i $ forment un système complet de projecteurs.
Réciproquement, montrer que si les $ \pi_i $ forment un système complet de projecteurs alors $ E=\bigoplus \limits_{i=1}^{q} Im(\pi_i) $.
Re: Exos sympas MP(*)
On a pas un contre exemple avec :
On considère la base canonique (e1,e2,e3)
$ E = vect \{e_1 , e_2\} \oplus vect\{e_3\} $
Avec $ \pi_1 (e_1) = e_2 $
$ \pi_1 (e_2) = e_1 $
$ \pi_2 (e_3) = 2e_3 $ ?
2016-2017 : MPSI (Lycée Pierre de Fermat)
2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon
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Re: Exos sympas MP(*)
une fois posée la somme directe, tu n'as plus trop le choix de la définition des Pi_i
Ton exemple ne convient pas.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos sympas MP(*)
Je ne comprends pas ce qui ne fonctionne pas... Pour les Pi_i étant tous égaux à l'endomorphisme nul on a aussi $ \pi_i(x) = 0 \in F_i $ ?
J'ai l'impression de ne pas saisir quelque chose et de paraître totalement stupide...
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Re: Exos sympas MP(*)
Pour la 2, je n'ai rien écrit mais n'y a t il pas moyen d'utiliser le théorème des gendarmes avec v_n définie par v_(n+1)= sqrt(v_n) et v1=sqrt(a+b) ?oty20 a écrit : ↑02 juin 2018 21:46matmeca_mcf1 a écrit : ↑02 juin 2018 19:13Soit $ 0<a<1 $ et $ 0<b<1 $ . Soit $ (u_n)_{n\in\mathbb{N}} $, la suite définie par
$$
u_0=a\\
u_1=b\\
u_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}})\quad\forall n\geq1
$$
Exo sympa , la première question semble sans difficulté majeure , voici ma proposition pour la convergence : on a une relation de type $ u_{n+1}=h(u_{n},u_{n-1}) $ , avec $ h(x,x)=\sqrt{x} >x ,~~ x \in [0,1] $ et
$ h(x,x) < x , ~~ x > 1 $ , on va montrer que $ u_{n} \to 1 $ .
En effet de l'encadrement plus tôt , on tire que $ h $ est continue $ (1,1) $ et $ h(1,1)=1 $ .
Définissons $ (v_{n}) $ de sorte que ; $ v_{0}=v_{1}=min(a,b) $ et $ v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) $ . pour $ n\geq 1 $ .
Comme $ min(a,b) < 1 $ on a :
$ v_{2}=h(v_{1},v_{0})=h(v_{1},v_{1}) > v_{1} $ ,
$ v_{3}=h(v_{2},v_{1}) > h(v_{1},v_{1}) =v_{2} $ , car $ h $ est croissante en chacune de ces variables
$ v_{4} =h(v_{3},v_{2}) > h(v_{2},v_{1})>v_{3} $ , de manière général $ v_{n+1}=h(v_{n},v_{n-1}) > h(v_{n-1},v_{n-2})=v_{n} $ donc $ (v_{n}) $ est croissante majorée par $ 1 $ donc convergente vers 1 , de plus on a $ v_{n} \leq u_{n} $ , on définit $ (w_{n}) $ de manière analogue ; mais avec $ w_{0}=w_{1}=max(a,b) <1 $ , une étude similaire amène a la convergence de $ (w_{n}) $ vers 1 , comme $ v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} $ , il n'en faut pas plus , sauf erreure .
Ingénieur
Re: Exos sympas MP(*)
Je pense que tu n'as pas compris l'énoncé... Mais moi non plus parce qu'en ce qui me concerne j'ai l'impression que par définition les pi sont des projecteurs.
Ingénieur
Re: Exos sympas MP(*)
Je ne comprends pas la définition des Pi_i. J'imagine bien qu'on utilise la décomposition unique dans la somme directe mais dans l'énoncé j'ai juste l'impression qu'on choisi l'image comme on veut dans le sous espace.
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2018-20XX : ENS de Lyon
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Re: Exos sympas MP(*)
On prendrait $ v_0=v_1=\min(a,b) $.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
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