Non pour moi l'image est la décomposition dans la somme directe. Mais du coup je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas un projecteur par définition....
Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Non pour moi l'image est la décomposition dans la somme directe. Mais du coup je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas un projecteur par définition....
Ingénieur
Re: Exos sympas MP(*)
Non, la définition est certes un peu elliptique mais on choisit pour l'image de x la composante qui va bien dans la décomposition qui va bien.
L'exo n'est pas bien difficile en réalité.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos sympas MP(*)
Ah oui c'est presque immédiat alors... j'espérais un résultat avec des hypothèses plus légères...
Désolé pour le dérangement.
Désolé pour le dérangement.
2016-2017 : MPSI (Lycée Pierre de Fermat)
2017-2018 : MP*
2018-20XX : ENS de Lyon
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Re: Exos sympas MP(*)
je posterai une solution dans deux jours .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Quelque chose dans ce goût là peut être ?
Soit x tel que tel que |h'(x)|=max sur [0,1/2] des y de [0,1/2] tels que |h'(y)|=max [0,y] |h'|. D'après l'inégalité des accroissements finis |h'(x)| <=x* (max [0,x] |h''|) <= x* (max [0,x] (|h'| + |h|)) <= x*|h'(x)| + x*max [0x] |h| <= x*|h'(x)| + x*x*|h'(x)| en réappliquant l'iaf donc
|h'(x)|<=x*(1+x)|h'(x)|<=3/4|h'(x)| donc sur ]0,x[ |h'| est nulle, et h aussi. On étend le résultat à [0,1/2[ par définition de x. Puis en reproduisant le même raisonnement sur la translatée i(t)=h(t+1/2) sur [0,1/2], on conclut.
Soit x tel que tel que |h'(x)|=max sur [0,1/2] des y de [0,1/2] tels que |h'(y)|=max [0,y] |h'|. D'après l'inégalité des accroissements finis |h'(x)| <=x* (max [0,x] |h''|) <= x* (max [0,x] (|h'| + |h|)) <= x*|h'(x)| + x*max [0x] |h| <= x*|h'(x)| + x*x*|h'(x)| en réappliquant l'iaf donc
|h'(x)|<=x*(1+x)|h'(x)|<=3/4|h'(x)| donc sur ]0,x[ |h'| est nulle, et h aussi. On étend le résultat à [0,1/2[ par définition de x. Puis en reproduisant le même raisonnement sur la translatée i(t)=h(t+1/2) sur [0,1/2], on conclut.
Re: Exos sympas MP(*)
Bonsoir , l'idée est bonne , mais je pense qu'il y a un problème de rédaction .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Quitte à considérer $x \mapsto h(-x)$, il suffit d'établir la nullité de $h$ sur $[0,1\mathclose[$.
Les hypothèses entraînent facilement pour tout $ x \geq 0,\ |h(x)|+|h'(x)| \leq 2 \int_0^x (|h(t)| + |h'(t)|) dt $, puis on conclut avec le lemme de Grönwall.
Les hypothèses entraînent facilement pour tout $ x \geq 0,\ |h(x)|+|h'(x)| \leq 2 \int_0^x (|h(t)| + |h'(t)|) dt $, puis on conclut avec le lemme de Grönwall.
Re: Exos sympas MP(*)
Bravo Siméon , $ x=0 $ donne $ h''(0)=0 $ puis :
$ |h'(x)|=|\int_{0}^{x} h''(t)dt|\leq\int_{0}^{x} |h''(t)|dt \\
~~~~~~~~~\leq \int_{0}^{x} |h'(t)|+|h(t)| dt \\
|h(x)|=|\int_{0}^{x} h'(t) dt | \leq \int_{0}^{x} |h'(t)| dt \leq \int_{0}^{x} |h(t)|+|h'(t)| dt $
Cet exo montre la puissance des outils de MP . Sans le lemme de Grönwall , on peut s'en sortir , mais péniblement .
Pour montrer la fonction $ h $ est identiquement nulle , il peut être judicieux d'essayer de montrer que le $ sup |h(x)| $ est nul , ici l'intervalle est ouvert , pour utiliser les résultats de continuité on va travaillé sur un recouvrement .
Soit $ r \in ]0,\frac{1}{2} $ considérons $ I=[-r,r] \subset ]-1,1[ $
comme $ h $ est continue , soit $ t $ tel que $ M=|h(t)|=Max_{x\in I} |h(x)| $ . On peut sans perdre de généralité supposé $ t>0 $ (comme dans la remarque dans le Poste de Siméon ) .
D’après Taylor on peut trouver $ a_{1} \in ]0,t[ $ tel que : $ h(t)=\frac{t^{2}}{2} h''(a_{1}) $ , en vue des hypothèses on tire :
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})| +|h'(a_{1})|) $ , on réitérant le raisonnement , on peut trouver $ a_{2} \in ]0,a_{1}[ $ tel que : $ h'(a_{1})=a_{1} h''(a_{2}) $
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})| +a_{1}|h''(a_{2})|) \leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})|+a_{1}|h(a_{2})|+a_{1}|h'(a_{2})|) $
En réitérant le raisonnement , on peut trouver une suite $ (a_{n}) $ strictement décroissante :
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (\sum_{i=1}^{n} |h(a_{i})| \Pi_{j=1}^{i-1} a_{j} + |h'(a_{n})|\Pi_{i=1}^{n-1}a_{i})\\
~~~~~~~~~~\leq \frac{t^{2}}{2} ( \sum_{i=1}^{n} |h(t)|a_{1}^{i-1}+|h'(a_{n})| a_{1}^{n-1}) $
Donc pour tout entier naturel $ n $
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (h(t)~~ \frac{1-a_{1}^{n-1}}{1-a_{1}}~~+|h'(a_{n})|a_{1}^{n-1}) $
comme $ x\to h'(x) $ est bornée sur $ I $ ,on fait tendre $ n \to \infty $ il vient :
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} \frac{|h(t)|}{1-a_{1}} $ donc $ (1-\frac{t^{2}}{2(1-a_{1})}) |h(t)|\leq 0 $ comme $ a_{1}\in ]0,\frac{1}{2}[ $ , il s'ensuit que $ |h(t)|=0 $ donc $ h\equiv 0 $ sur $ [-r,r] $ , donc $ h(r)=h(-r)=h'(r)=h'(-r)=0 $ , par translation avec un raisonnement analogue il vient que $ h \equiv 0 $ sur $ [-2r,2r] $ pour tout $ r \in ]0,\frac{1}{2}[ $ ce qui permet de conclure .
$ |h'(x)|=|\int_{0}^{x} h''(t)dt|\leq\int_{0}^{x} |h''(t)|dt \\
~~~~~~~~~\leq \int_{0}^{x} |h'(t)|+|h(t)| dt \\
|h(x)|=|\int_{0}^{x} h'(t) dt | \leq \int_{0}^{x} |h'(t)| dt \leq \int_{0}^{x} |h(t)|+|h'(t)| dt $
Cet exo montre la puissance des outils de MP . Sans le lemme de Grönwall , on peut s'en sortir , mais péniblement .
Pour montrer la fonction $ h $ est identiquement nulle , il peut être judicieux d'essayer de montrer que le $ sup |h(x)| $ est nul , ici l'intervalle est ouvert , pour utiliser les résultats de continuité on va travaillé sur un recouvrement .
Soit $ r \in ]0,\frac{1}{2} $ considérons $ I=[-r,r] \subset ]-1,1[ $
comme $ h $ est continue , soit $ t $ tel que $ M=|h(t)|=Max_{x\in I} |h(x)| $ . On peut sans perdre de généralité supposé $ t>0 $ (comme dans la remarque dans le Poste de Siméon ) .
D’après Taylor on peut trouver $ a_{1} \in ]0,t[ $ tel que : $ h(t)=\frac{t^{2}}{2} h''(a_{1}) $ , en vue des hypothèses on tire :
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})| +|h'(a_{1})|) $ , on réitérant le raisonnement , on peut trouver $ a_{2} \in ]0,a_{1}[ $ tel que : $ h'(a_{1})=a_{1} h''(a_{2}) $
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})| +a_{1}|h''(a_{2})|) \leq \frac{t^{2}}{2} (|h(a_{1})|+a_{1}|h(a_{2})|+a_{1}|h'(a_{2})|) $
En réitérant le raisonnement , on peut trouver une suite $ (a_{n}) $ strictement décroissante :
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (\sum_{i=1}^{n} |h(a_{i})| \Pi_{j=1}^{i-1} a_{j} + |h'(a_{n})|\Pi_{i=1}^{n-1}a_{i})\\
~~~~~~~~~~\leq \frac{t^{2}}{2} ( \sum_{i=1}^{n} |h(t)|a_{1}^{i-1}+|h'(a_{n})| a_{1}^{n-1}) $
Donc pour tout entier naturel $ n $
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} (h(t)~~ \frac{1-a_{1}^{n-1}}{1-a_{1}}~~+|h'(a_{n})|a_{1}^{n-1}) $
comme $ x\to h'(x) $ est bornée sur $ I $ ,on fait tendre $ n \to \infty $ il vient :
$ |h(t)|\leq \frac{t^{2}}{2} \frac{|h(t)|}{1-a_{1}} $ donc $ (1-\frac{t^{2}}{2(1-a_{1})}) |h(t)|\leq 0 $ comme $ a_{1}\in ]0,\frac{1}{2}[ $ , il s'ensuit que $ |h(t)|=0 $ donc $ h\equiv 0 $ sur $ [-r,r] $ , donc $ h(r)=h(-r)=h'(r)=h'(-r)=0 $ , par translation avec un raisonnement analogue il vient que $ h \equiv 0 $ sur $ [-2r,2r] $ pour tout $ r \in ]0,\frac{1}{2}[ $ ce qui permet de conclure .
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Puisque le dernier parlait de suite
Soit la suite $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $y_0 > 0$ et $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $ y_{n+1} = \frac{1}{2}( y_n+ \frac{1}{y_n}) $
Étudier la convergence de $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$
Soit la suite $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $y_0 > 0$ et $\forall n\in\mathbb{N}$ ; $ y_{n+1} = \frac{1}{2}( y_n+ \frac{1}{y_n}) $
Étudier la convergence de $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$
Re: Exos sympas MP(*)
Bonsoir !
Pour l’étude de la convergence de $ (y_n) $ :
Pour l’étude de la convergence de $ (y_n) $ :
SPOILER:
2018-2020 : MPSI/MP H4
X2020
<AQT> $ \frac{\pi}{17} $ </AQT>
X2020
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