Permutation dérivées mécanique analytique
Permutation dérivées mécanique analytique
Bonjour ! J'ai besoin de votre aide pour démontrer cette égalité:
$$ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}\frac{\partial \vec{r}(q(t),t)}{\partial q}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}} $$
en partant de la formule de la chaîne on a $$ \frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}}=\sum _{i}\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \vec{r} }{\partial t} $$
et en utilisant cette formule et le fait que $$ \frac{\partial }{\partial q}=\sum_{i}\frac{\partial }{\partial q_{i}} $$
On développe et on trouve
$$ \frac{\partial}{\partial q}\frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}}=\sum _{i}\sum_{i}\frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}})+\sum_{i}\frac{\partial^2 \vec{r} }{\partial q_{i}\partial t} $$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\frac{\partial \vec{r}(q(t),t)}{\partial q}=\sum _{i}\sum_{i}\dot{q_{i}}\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q_{i}^2}+\sum_{i}\frac{\partial^2 \vec{r} }{\partial q_{i}\partial t} $$
Du coup, le seul problème qui reste c'est de sortir $ \dot{q_{i}} $ de $ \frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}) $ ce qui revient à dire que $ \dot{q_{i}} $ ne dépend pas de $ q_{i} $, ce qui m'a l'air faux si $ q_{i} $ respecte une équa diff d'ordre 1
en partant de la formule de la chaîne on a $$ \frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}}=\sum _{i}\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \vec{r} }{\partial t} $$
et en utilisant cette formule et le fait que $$ \frac{\partial }{\partial q}=\sum_{i}\frac{\partial }{\partial q_{i}} $$
On développe et on trouve
$$ \frac{\partial}{\partial q}\frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}}=\sum _{i}\sum_{i}\frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}})+\sum_{i}\frac{\partial^2 \vec{r} }{\partial q_{i}\partial t} $$
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\frac{\partial \vec{r}(q(t),t)}{\partial q}=\sum _{i}\sum_{i}\dot{q_{i}}\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q_{i}^2}+\sum_{i}\frac{\partial^2 \vec{r} }{\partial q_{i}\partial t} $$
Du coup, le seul problème qui reste c'est de sortir $ \dot{q_{i}} $ de $ \frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}) $ ce qui revient à dire que $ \dot{q_{i}} $ ne dépend pas de $ q_{i} $, ce qui m'a l'air faux si $ q_{i} $ respecte une équa diff d'ordre 1
Si Vivaldi avait vécu à notre époque, il ferait du Hard Rock ou du Métal, il a toujours été un musicien métallique au bon sens du terme ! (Jean-Michel Jarre).
Re: Permutation dérivées mécanique analytique
q est une variable scalaire ou vectorielle ?
J’ai pas l’impression qu’il y a un gradient ici vue la façon dont c’est écrit donc tu peux sans doute te restreindre au cas où q est réelle.
Dans le cas vectoriel, tu as écrit des trucs un peu bizarre.
Ta formule de d/dq est fausse dans le cas général : d/dq est un vecteur alors que la somme des d/dqi est un scalaire.
Ensuite quand tu as des doubles sommes, il faut introduire des indices différents.
J’ai pas l’impression qu’il y a un gradient ici vue la façon dont c’est écrit donc tu peux sans doute te restreindre au cas où q est réelle.
Dans le cas vectoriel, tu as écrit des trucs un peu bizarre.
Ta formule de d/dq est fausse dans le cas général : d/dq est un vecteur alors que la somme des d/dqi est un scalaire.
Ensuite quand tu as des doubles sommes, il faut introduire des indices différents.
2008-2010 Lycée Kléber Strasbourg (MPSI4 - MP*)
2010-2014 Ecole Polytechnique - Master Physique des Hautes Energies (X-ETH Zürich)
2014-2017 Doctorat Laboratoire Leprince-Ringuet
2017-2018 Post-doc Imperial College
2018-... Chargé de recherche CNRS
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique
q c'est$ q=(q_{i})_{1\leq i\leq n} $ l'ensemble des coordonées généralisées donc ouai c'est vectoriel, le truc du coup c'est que je sais pas ce que $ \frac{\partial}{\partial q} $ représente, ils le disent pas clairement dans le livre où l'exo est. Ah ok merci pour les doubles sommes j'avais pas remarqué
Si Vivaldi avait vécu à notre époque, il ferait du Hard Rock ou du Métal, il a toujours été un musicien métallique au bon sens du terme ! (Jean-Michel Jarre).
Re: Permutation dérivées mécanique analytique
Pour ça, il faut comprendre un peu à quoi correspondent les différents termes (sachant que les notations employées ici ne sont pas très rigoureuses si elles sont données comme ça dans l'énoncé).driagon a écrit : ↑08 juin 2018 22:35Du coup, le seul problème qui reste c'est de sortir $ \dot{q_{i}} $ de $ \frac{\partial }{\partial q_{i}}(\dot{q_{i}}\frac{\partial \vec{r}}{\partial q_{i}}) $ ce qui revient à dire que $ \dot{q_{i}} $ ne dépend pas de $ q_{i} $, ce qui m'a l'air faux si $ q_{i} $ respecte une équa diff d'ordre 1
De manière générale, tu manipules ici des fonctions
$ f: (q,t)\rightarrow f(q,t) $
et leurs dérivées par rapport à q ou t
q ou t sont simplement les arguments réels et pas des fonctions
$ \frac{\partial f}{\partial q} $ ou $ \frac{\partial f}{\partial t} $ correspond ainsi à la dérivée par rapport à la première ou la deuxième variable, indépendamment du point où cette fonction est évaluée.
Plus spécifiquement,
$ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}\frac{\partial \vec{r}(q(t),t)}{\partial q} $
devrait plutôt s'écrire
$ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}}\left(\frac{\partial \vec{r}}{\partial q}(q(t),t)\right) $
$ =\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t)\frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q^2}(q(t),t) + \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q \partial t}(q(t),t) $
et de la même manière
$ \frac{\partial }{\partial q}\frac{\mathrm{d}\vec{r}(q(t),t)}{\mathrm{dt}} $
devrait plutôt s'écrire
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t))\right) $
Et encore, la notation ici reste abusive parce que
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t)) $
est la dérivée par rapport à t de la fonction
$ g: t\rightarrow \vec{r}(q(t),t) $
(fonction d'une seule variable)
En étant absolument rigoureux, la notation
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(g(t))\right) $
n'a donc pas de sens.
Malgré tout, essayons de jouer le jeu
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t))=\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t) \frac{\partial \vec{r}}{\partial q}(q(t),t) + \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}(q(t),t) $
À ce stade, on peut définir une fonction
$ h: (x,q,t) \rightarrow x \frac{\partial \vec{r}}{\partial q}(q,t) + \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}(q,t) $
On a donc $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(g(t))=h(\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t),q(t),t) $
Et on peut définir
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(g(t))\right) = \frac{\partial h}{\partial q}(\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t),q(t),t) $
avec
$ \frac{\partial h}{\partial q}(x,q,t) = x \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q^2}(q,t) + \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q \partial t}(q,t) $
Donc
$ \frac{\partial }{\partial q}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\vec{r}(q(t),t))\right) $
$ = \frac{\partial h}{\partial q}(\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t),q(t),t) $
$ = \frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}}(t) \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q^2}(q(t),t) + \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial q \partial t}(q(t),t) $
2008-2010 Lycée Kléber Strasbourg (MPSI4 - MP*)
2010-2014 Ecole Polytechnique - Master Physique des Hautes Energies (X-ETH Zürich)
2014-2017 Doctorat Laboratoire Leprince-Ringuet
2017-2018 Post-doc Imperial College
2018-... Chargé de recherche CNRS
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2017-2018 Post-doc Imperial College
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique
Pour répondre directement à sa question, $ q_i $ et $ \dot{q}_i $ sont des variables indépendantes. Tout comme $ q_i $ et $ p_i $ en formalisme de Hamilton. Donc $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}\dot{q}_i=0 $
Ou je dis une bêtise ?
Ou je dis une bêtise ?
Re: Permutation dérivées mécanique analytique
Il faut définir ce que tu appelles $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}(\dot{q}_i) $
En étant absolument rigoureux, c'est nul mais $ \dfrac{\partial}{\partial q_i}(q_i(t)) $ est nul également puisque $ q_i(t) $ dépend de t et pas de $ q_i $.
De manière générale, les argument des dérivées partielles ($ \dfrac{\partial}{\partial q_i}, \dfrac{\partial}{\partial t} $...) font toujours référence à une définition précise de la fonction à dériver.
Ce ne sont pas des notations intrinsèques.
Par exemple, imaginons $ f: (a,b)\rightarrow f(a,b) $
La notation $ \dfrac{\partial f(a,b)}{\partial x} $ est mal définie parce que f n'a jamais été définie avec x comme argument.
On pourrait dire $ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 0 $ mais qu'est-ce qui m'empêche de définir $ x=a/2 $ et, de dire $ \dfrac{\partial f(a,b)}{\partial x} = \dfrac{\partial f(2x,b)}{\partial x} = 2\dfrac{\partial f} {\partial a}(2x,b) = 2\dfrac{\partial f} {\partial a}(a,b) $ ?
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique
Non, c'est bien ça. Oui elles peuvent vérifier une équation différentielle mais par principe, en formalisme lagrangien, elles sont indépendantes.
Re: Permutation dérivées mécanique analytique
Pour compléter on peut se reporter au tome 1 du cours de physique théorique de Landau et Lifchitz.
Ou bien aux livres de Gignoux et Silvestre-Brac "Mécanique. De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien" et "Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours - de Lagrange à Hamilton". Ne pas hésiter à faire les problèmes de ce dernier livre, c'est formateur.
ESPCI (au siècle dernier) / Thèse (électronique & télécoms) / Ingé R&D
"It is not only not right, it is not even wrong," - W. Pauli
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Re: Permutation dérivées mécanique analytique
Je confirme.
[Note : $ t $ peut également être définie comme une variable indépendante (par l'introduction de la variable $ \tau = t $ sa variable conjuguée $ T $, afin de supprimer t du hamiltonien) ; donc on peut considérer sans perte de généralité en formalisme hamiltonien que ledit hamiltonien est stationnaire . Je ne me rappelle plus comment qu'on la supprime en formalisme lagrangien.]
Chaque vénérable chêne a commencé par être un modeste gland. Si on a pensé à lui pisser dessus.