Famille libre

[Juliaaa]

Bonjour, nous travaillons en ce moment sur les espaces vectoriels et je rencontre des difficultés à trouver la dernière question d'un exercice, que voici :

Soit la famille (x², e^x) avec x² et e^x appartenant à R dans R
Il faut trouver si la famille est libre et si elle est génératrice?

J'ai posé a et b appartenant à R et je cherche a démontrer que
ax²+be^x = 0 entraîne a et b =0
Mais je suis bloqué ensuite

Merci beaucoup

[rickyy]

Si tu as montré que $a = b = 0$, tu as bien montré que la famille est libre.
Pour savoir si elle est génératrice, ça dépend de ce que tu essaies de montrer. Qu'elle l'est ou pas ?

[Juliaaa]

Je n'ai pas réussi à démontrer que a et b étaient nuls
Je sais qu'elle n'est pas génératrice, toutes les fonctions de R dans R ne peuvent pas s'écrire comme combination de x² ou exponentiel; mais je ne sais pas comment le démontrer

[matmeca_mcf1]

Pour montrer qu'il s'agit d'une partie libre, vous pouvez dériver l'égalité (qui doit être vraie pour tout x) deux fois. Pour montrer que ce ne n'est pas une partie génératrice, posez-vous la question suivante: L'espace des fonctions (continues? de classe $ \mathcal{C}^\infty $ est-il de dimension finie?

[rickyy]

(Au temps pour moi, j'avais mal lu)
Pour montrer qu'elle n'est pas génératrice, il faut trouver une fonction continue qui ne s'écrit comme combinaison linéaire de ces deux fonctions.
Une méthode qui marchera certainement est de prendre une fonction continue (à peu près au hasard) et de raisonner par l'absurde en supposant qu'elle est combinaison linéaire des deux.

[Skizzy]

Hello,

Pour montrer que $ (x^2, e^x) $ une famille libre de $ \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $, tu peux aussi multiplier par $ x $ et passer à la limite en $ -\infty $. Tu pourras conclure en utilisant un théorème de croissance comparée, il me semble.

C'est une technique qu'on peut réutiliser dans cet exercice par exemple :

Pour tout entier $ 0 ≤ k ≤ n $, on pose $ f_{k} : \mathbb{R} → \mathbb{R} $ la fonction définie par $ f_{k}(x) = e^{k.x} $.
Montrer que la famille $ (f_{k})_{0≤k≤n} $ est une famille libre de $ \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $.

[Juliaaa]

Merci, j'ai réussi pour la famille libre

J'ai essayé par l'absurde donc j'ai prit x et en posant x=ax²+be^x
en prenant x=0 on obtient que b=0 et en prenant x=1 on obtient a=1/2, mais lorsque l'on prenant x=2 les deux valeurs trouvées précédemment ne conviennent pas donc on peut déduire que x ne s'écrit pas comme combinaison linéaire des deux fonctions. Est ce que cela suffit?

[JeanN]

Oui mais dans ta rédaction, essaye de ne pas confondre fonction et valeur prise par une fonction

[jmctiti]

Bonjour

Pour avioir une redaction d'une question analogue distinguant bien entre fonction et valeur prise par la fonction,
tu peux regarder l'exo 23 (partie I.2.C) de http://www.les-maths-en-prepas.fr/Cours ... PSI#Sect12

Bonne journée