Exercices de mpsi (et un peu de terminale)

[LapinouX]

Hmm ...

SPOILER:

Dans tous les cas pour répondre au problème 18 il suffit de considérer le cas où x est un extremum local de f : il n'existera pas d'ouvert contenant x sur lequel f est monotone.

[Chronoxx]

Exercice 17

SPOILER:

Analyse : Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb R $ dans $ \mathbb R $ qui convient.

Démontrons qu'alors $ f $ est monotone. Raisonnons par l'absurde et supposons que $ f $ n'est pas monotone.

Sans perte de généralité, on considère que $ f $ est croissante puis décroissante sur un intervalle $ \mathbb I $ inclu dans $ \mathbb R $. Il existe ainsi trois réels $ x_1,x_2,x_3 \in \mathbb I $ avec $ x_1<x_2<x_3 $ tels que $ f(x_1) < f(x_2) $ et $ f(x_3) < f(x_2) $ où $ f(x_2) $ est le maximum local. Comme $ f $ vérifie les conditions, $ f(x_2) - f(x_1) = x_2-x_1 $ et $ f(x_2) - f(x_3) = x_3 - x_2 $.

- Si $ f(x_3) > f(x_1) $, alors pour tout $ x \in [x_1,x_3] $, $ f(x) \in [f(x_1),f(x_2)] $. On a donc $ f(x_2) - f(x_1) = x_3 - x_1 = x_2 - x_1 \Leftrightarrow x_2 = x_3 $. Contradiction.
- Si $ f(x_3) < f(x_1) $, alors pour tout $ x \in [x_1,x_3] $, $ f(x) \in [f(x_3),f(x_2)] $. On a donc $ f(x_2) - f(x_3) = x_3 - x_1 = x_3 - x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2 $. Contradiction.
- Si $ f(x_3) = f(x_1) $, contradiction.

Donc $ f $ est monotone sur $ \mathbb R $.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques tels que $ a<b $. On note respectivement $ M $ et $ m $ le maximum et le minimum de $ f $ sur $ [a,b] $ d'où $ M-m=b-a $. $ f $ est monotone donc :
$ \displaystyle\begin{cases} M = f(a)\\m = f(b)\end{cases} $ ou $ \displaystyle\begin{cases} M = f(b)\\m = f(a)\end{cases} $.
Ainsi, pour tous réels $ a $ et $ b $, $ \mid f(b) - f(a) \mid = b - a \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\mid f(b) - f(a) \mid}{b-a} = 1 $.
Par définition, la représentation graphique de $ f $ est une droite et son coefficient directeur vaut $ \displaystyle\frac {f(b) - f(a)}{b-a} = ±1 $.

Donc $ f $ est de la forme $ ±x + k $, $ k \in \mathbb R $.

Synthèse : Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb R $ dans $ \mathbb R $ définie par :
$ \forall x \in \mathbb R, f(x) = x + k $, $ k \in \mathbb R $.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques tels que $ a<b $.
$ f(b) > f(a) $ et $ f(b) - f(a) = b + k - a - k = b - a $. Donc $ f $ convient.
On raisonne de manière analogue pour $ f(x) = -x + k $.

Les fonctions qui conviennent sont toutes les fonctions de la forme $ ±x + k $, $ k \in \mathbb R $.

[Nabuco]

Exercice 17

SPOILER:

Analyse : Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb R $ dans $ \mathbb R $ qui convient.

Démontrons qu'alors $ f $ est monotone. Raisonnons par l'absurde et supposons que $ f $ n'est pas monotone.

Sans perte de généralité, on considère que $ f $ est croissante puis décroissante sur un intervalle $ \mathbb I $ inclu dans $ \mathbb R $. Il existe ainsi trois réels $ x_1,x_2,x_3 \in \mathbb I $ avec $ x_1<x_2<x_3 $ tels que $ f(x_1) < f(x_2) $ et $ f(x_3) < f(x_2) $ où $ f(x_2) $ est le maximum local. Comme $ f $ vérifie les conditions, $ f(x_2) - f(x_1) = x_2-x_1 $ et $ f(x_2) - f(x_3) = x_3 - x_2 $.

- Si $ f(x_3) > f(x_1) $, alors pour tout $ x \in [x_1,x_3] $, $ f(x) \in [f(x_1),f(x_2)] $. On a donc $ f(x_2) - f(x_1) = x_3 - x_1 = x_2 - x_1 \Leftrightarrow x_2 = x_3 $. Contradiction.
- Si $ f(x_3) < f(x_1) $, alors pour tout $ x \in [x_1,x_3] $, $ f(x) \in [f(x_3),f(x_2)] $. On a donc $ f(x_2) - f(x_3) = x_3 - x_1 = x_3 - x_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2 $. Contradiction.
- Si $ f(x_3) = f(x_1) $, contradiction.

Donc $ f $ est monotone sur $ \mathbb R $.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques tels que $ a<b $. On note respectivement $ M $ et $ m $ le maximum et le minimum de $ f $ sur $ [a,b] $ d'où $ M-m=b-a $. $ f $ est monotone donc :
$ \displaystyle\begin{cases} M = f(a)\\m = f(b)\end{cases} $ ou $ \displaystyle\begin{cases} M = f(b)\\m = f(a)\end{cases} $.
Ainsi, pour tous réels $ a $ et $ b $, $ \mid f(b) - f(a) \mid = b - a \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\mid f(b) - f(a) \mid}{b-a} = 1 $.
Par définition, la représentation graphique de $ f $ est une droite et son coefficient directeur vaut $ \displaystyle\frac {f(b) - f(a)}{b-a} = ±1 $.

Donc $ f $ est de la forme $ ±x + k $, $ k \in \mathbb R $.

Synthèse : Soit $ f $ une fonction de $ \mathbb R $ dans $ \mathbb R $ définie par :
$ \forall x \in \mathbb R, f(x) = x + k $, $ k \in \mathbb R $.

Soient $ a $ et $ b $ deux réels quelconques tels que $ a<b $.
$ f(b) > f(a) $ et $ f(b) - f(a) = b + k - a - k = b - a $. Donc $ f $ convient.
On raisonne de manière analogue pour $ f(x) = -x + k $.

Les fonctions qui conviennent sont toutes les fonctions de la forme $ ±x + k $, $ k \in \mathbb R $.

ta hnégation de f n est pas monotone n est pas évidente non ? Tu supposes que tu peux trouver un intervalle surlequel f croit puis décroît ce qui semble pas immédiat du tout...

[Chronoxx]

@Nabuco

Je me suis dit que si f n’est pas monotone, alors il existe un intervalle où f est croissante puis décroissante ou décroissante puis croissante (ou éventuellement constante). Ça me semble logique mais je me trompe peut-être ^^

[Nabuco]

@Nabuco

Je me suis dit que si f n’est pas monotone, alors il existe un intervalle où f est croissante puis décroissante ou décroissante puis croissante (ou éventuellement constante). Ça me semble logique mais je me trompe peut-être ^^

Si f est non continue c est faux (la fonction indicatrice des rationnels par exemple). D où le fait que ça mérite de détailler

[matmeca_mcf1]

Une fonction continue n'est pas forcément monotone par morceaux.

[Chronoxx]

Le TVI affirme exactement que l’image (par une fonction continue) d’un intervalle est un intervalle, mais l’énoncé donne déjà cette hypothèse sur f donc inutile de montrer qu’elle est continue

@Nabuco
Je m’étais appuyé sur ce message pour considérer d’emblée que f était continue.

Une fonction continue n'est pas forcément monotone par morceaux.

Ah oui ? Je ne savais pas ! Ça parait contre-intuitif de prime abord. Donc ma contradiction ne fonctionne pas. Je n’ai plus qu’à en chercher une nouvelle alors

[BobbyJoe]

Tu as oublié de compléter l'argument... car $ $$f$ n'est dérivable en aucun point bien qu'elle soit continue... Mais cela ne sent pas trop "l'exercice" jouable en sortie de terminale :p

[LapinouX]

Ca sent surtout les fonctions de Weierstrass ...

[Chronoxx]

Ca sent surtout les fonctions de Weierstrass ...

Sympa, j’viens de voir des images sur google et ça fait beaucoup penser aux fractales. On en apprend tous les jours