Exercices de MPSI

[gardener]

Il faut une hypothèse DSE sur la fonction pour conclure, je pense.

Pas besoin, en prenant $ g(x) $ fonction de $\mathbb R$ juste continue et périodique alors, $P(x)=g(x)\times x$ a des $A$ infinies correspondant quand $P(x)=m \times x$ avec $m\in g(\mathbb R)$

Pour espérer pouvoir conclure que $ P $ est constant, ou quelque chose dans ce goût là

[Zrun]

Un exercice avec peu de connaissance requise :
Soit f une fonction de N dans N telle que pour tout n dans N , f(n+1)>f(f(n)) . Trouver f .

[Samuel.A]

@Zrun c'est parfait !

[Errys]

Exercice de Zrun :

SPOILER:

On montre par une récurrence forte que $ f(n) = n $ pour tout $ n\in\mathbb{N} $.

Initialisation :
On montre que pour tout $ k > 0 $, $ f(k)>0 $. En effet, si $ f(k) = 0 $ alors $ f(k) > f(f(k-1)) $ donc $ f(f(k-1)<0 $ ce qui est absurde.
De plus, $ S = \{ f(k) : k\in\mathbb{N}^*\} $ est une partie non vide de $ \mathbb{N} $ donc admet un plus petit élément $ a $. Donc il existe $ k >0 $ tel que $ f(k) = a $. Or, $ f(k) > f(f(k-1)) $. Donc $ f(k-1) = 0 $ (sinon on arrive à une contradiction). D'où $ k-1=0 $ d'après ce qu'on a vu avant.
Ainsi, $ f(0) = 0 $ et pour tout entier $ k > 0 $, $ f(k) > f(0) $.

Hérédité :
Soit $ n\in\mathbb{N}^* $ tel que $ f(k) = k $ pour $ k < n $ et $ f(k) > f(n-1) $ pour $ k\ge n $.
Par le même raisonnement que dans l'initialisation, on montre que si $ k > n $ alors $ f(k) > n $. En effet, si $ f(k) = n $ alors $ f(k) > f(f(k-1)) $ soit $ f(f(k-1)) < n $. Or, $ f(k-1) \ge n $ donc $ f(f(k-1)) \ge n $ ce qui est absurde.
Donc $ f(k) > n $ pour $ k > n $.

De même, on montre que $ f(n) = n $. On pose $ S = \{ f(k) : k>n\} $. Qui admet un plus petit élément a et $ k>n $ tel que $ f(k) = a $. Or, $ f(k) > f(f(k-1)) $ d'où $ f(f(k-1)) < a $. Ainsi, $ f(k-1) \le n $ sinon on arrive à une contradiction. D'où $ f(k-1) = n $ car $ k-1 \ge n $. Ainsi, $ k-1=n $ et $ f(n) = n $.

D'après le principe de récurrence forte, $ f(n) = n $ pour tout entier $ n $.

[Nabuco]

l'exo de Zrun :

SPOILER:

1/ Montrons que $ f(n)\geq n $
Par réccurence total :
on a $ f(0)\geq 0 $
Supposons $\forall k\leq n, f(k)\geq k$ alors $f(f(n))\geq f(n) \geq n \geq $ donc $f(n+1)\geq f(f(n))+1\geq n+1$

2/ Montrons que $ f $ est injective
On a $f(n+1)\geq f(f(n))+1 \geq f(n) +1$ donc $f$ est strictement croissante (donc injective) on note $g$ la réciproque sur $f(\mathbb N)$ qui est aussi croissante.

3/ Montrons que $f(x)=x$
$f(n+1)>f(f(n))$ alors $g(f(n+1))>g(f(f(n))$ donc $n+1>f(n)\geq n$

Ce qu'il fallait expliquer.

J ai du mal à suivrea première étape, en effet ça devrait être pour tout k<=n f(k)>=k, or cette inégalité est appliquée à f(n).

[Nabuco]

Il me semble qu'il n'y a pas de problème je suppose jusqu'à n et montre pour n+1 (sinon effectivement j'avais écrit k>n que j'ai corrigé, par k<n)
Ensuite j'utilise de manière équivalente $f(n+1)>f(f(n))$ et $f(n+1)\geq f(f(n))+1$.

Pourquoi f(f(n)>=f(n) ?

[oty20]

Je reviens une dernière fois sur le sujet si tu veux bien Samuel.A ^_^

C'est pour ça que je dis que l'argument d'Oty me semble boiteux (je n'ai pas bien saisi ce que tu veux montrer).

Oui , je n'ai pas trouvé de parade au cas d'une suite stationnaire quand j'utilise la borne inf .

Edit: comme vous avez exhibé des contres exemples , c'est que la démonstration n'est pas réparable.

[Nabuco]

j'ai corrigé.

Ton hypothèse de récurrence c est pour tout i f composée i fois de n >=n ? Dans ce cas il faut changer aussi la conclusion de ton hérédité tu le prouves uniquemement pour i=1

[Zrun]

Deux autres du coup :
1)Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 .
2) Existe-t-il un polynôme à coefficients entiers , non constant , tel que pour tout n entier naturel assez grand, P(n) est premier ?

[oty20]

Voici un exo très jolie , que je trouve bien adapté a ce fil :

Sur les entiers naturels :

Trouver tous les entiers naturels $ n $ avec la propriété suivante :

pour tout entier impair $ ~~a~~ $ , si $ ~~~~a^{2} \leq n $ alors $ ~~~~a|n $ .

je constate que cet exo est passé inaperçu , je posterai une solution ce soir.