Exercice demonstration irrationnalité

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Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » 07 août 2018 15:35

Bonjour à tous,
Dans l'exo 13 du pdf LLG ci-dessous, on demande de "généraliser" a partir de la démonstration que racine de 3 est irrationnel.

Exercice 13 (AD). Montrer que √3 est irrationnel. Généraliser.

Sauf, que je ne comprend pas exactement ce que généraliser veut dire dans ce contexte... Voilà donc ce que j'ai produit mais je ne sais pas si c'est assez général ou si je ne traite que le simple cas où n est un entier naturel.
Merci de m'éclairer =D :
croatie-carte-regions.jpg
croatie-carte-regions.jpg (65.02 Kio) Consulté 1952 fois
J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de la conjecture de Reimann, mais la signature est trop étroite pour la contenir.

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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par bullquies » 07 août 2018 15:50

il y a une faute apres a^2 =kn


que vaut k, si tu remplaces a^2 par kn dans l'équation de départ ?
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona

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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Luckyos » 07 août 2018 15:58

A partir de $ \frac{k}{a^2} = n $ c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour $ n $ qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser $ a|nb^2 $ en exploitant l'hypothèse sur $ a $ et $ b $.
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » 07 août 2018 17:10

Tout d'abord, merci beaucoup bullquies et Luckyos pour vos réponse! =D
Luckyos a écrit :
07 août 2018 15:58
A partir de $ \frac{k}{a^2} = n $ c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour $ n $ qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser $ a|nb^2 $ en exploitant l'hypothèse sur $ a $ et $ b $.
Je pense avoir réussi à résoudre le problème.
a|nb².
Puisque PGCD(a,b)=1, a|n
Donc n=ka avec k∈N
On a alors kb²=a
Ce qui donne : (kb)²=ka=n
Ce qui est absurde car n n'est pas le carré d'un entier.
Donc √n∉Q

Ma démo est-elle bonne?
Merci <3
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Luckyos » 07 août 2018 17:22

s89ne a écrit :
07 août 2018 17:10
Tout d'abord, merci beaucoup bullquies et Luckyos pour vos réponse! =D
Luckyos a écrit :
07 août 2018 15:58
A partir de $ \frac{k}{a^2} = n $ c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour $ n $ qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser $ a|nb^2 $ en exploitant l'hypothèse sur $ a $ et $ b $.
Je pense avoir réussi à résoudre le problème.
a|nb².
Puisque PGCD(a,b)=1, a|n
Donc n=ka avec k∈N
On a alors kb²=a
Ce qui donne : (kb)²=ka=n
Ce qui est absurde car n n'est pas le carré d'un entier.
Donc √n∉Q

Ma démo est-elle bonne?
Merci <3
Oui c'est bon !

Une autre façon assez pratique de démontrer le résultat :

Puisque $ n $ n'est pas un carré, il existe $ p $ premier tel que l'exposant de $ p $ dans la dfp (décomposition en facteurs premiers) de $ n $ soit impair.
En passant à l'exposant de $ p $ dans la dfp (que l'on appelle valuation p-adique) dans l'égalité $ nb^2 = a^2 $ : on a un entier impair à gauche et un entier pair à droite, ce qui est absurde.
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Samuel.A » 07 août 2018 18:54

J'aime beaucoup la dernière démonstration proposée je n'en avait jamais vu de telle sorte c'est super ! :D

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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par oty20 » 07 août 2018 21:00

tu peux aussi remarquer qu'il s'agit d'une déscente infinie
Dernière modification par oty20 le 08 août 2018 16:07, modifié 1 fois.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » 07 août 2018 23:18

Luckyos a écrit :
07 août 2018 17:22
s89ne a écrit :
07 août 2018 17:10
Tout d'abord, merci beaucoup bullquies et Luckyos pour vos réponse! =D
Luckyos a écrit :
07 août 2018 15:58
A partir de $ \frac{k}{a^2} = n $ c'est faux, donc malheureusement c'est le cas de tout le reste. (grillé)

Et le but est bien de montrer le résultat pour $ n $ qui n'est pas un carré (hypothèse que t'utilises pas dans ta tentative d'ailleurs).

Pour ça on peut commencer par utiliser $ a|nb^2 $ en exploitant l'hypothèse sur $ a $ et $ b $.
Je pense avoir réussi à résoudre le problème.
a|nb².
Puisque PGCD(a,b)=1, a|n
Donc n=ka avec k∈N
On a alors kb²=a
Ce qui donne : (kb)²=ka=n
Ce qui est absurde car n n'est pas le carré d'un entier.
Donc √n∉Q

Ma démo est-elle bonne?
Merci <3
Oui c'est bon !

Une autre façon assez pratique de démontrer le résultat :

Puisque $ n $ n'est pas un carré, il existe $ p $ premier tel que l'exposant de $ p $ dans la dfp (décomposition en facteurs premiers) de $ n $ soit impair.
En passant à l'exposant de $ p $ dans la dfp (que l'on appelle valuation p-adique) dans l'égalité $ nb^2 = a^2 $ : on a un entier impair à gauche et un entier pair à droite, ce qui est absurde.
Désolé, je ne comprend pas bien la démonstration :/
Que veut dire "en passant à l'exposant de $ p $ dans la décomposition en facteurs premiers" ?
Pourriez-vous s'il vous plait, me donner un exemple pour que je comprenne mieux?
Merci beaucoup pour votre aide
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par Luckyos » 08 août 2018 00:24

L'exposant de $ p $ dans la décomposition en facteurs premiers (qui existe et est unique) de $ n $ se note $ v_p(n) $ (tu le verras en sup).
Par exemple pour $ n = 90 = 2*3^2*5 $ : $ v_3(n) = 2 $ , $ v_{31}(n) = 0 $ et $ v_5(n) = 1 $ .

Ici on a $ nb^2 = a^2 $, donc $ v_p(nb^2) = v_p(a^2) $ (je suis passé à la valuation $ p $-adique).

Or, $ v_p(xy) = v_p(x)*v_p(y) $ (il suffit de faire le produit des dfp de $ x $ et $ y $ et d'exploiter l'unicité de la décomposition).
D'où $ v_p(n) + 2*v_p(b) = 2*v_p(a) $ avec $ v_p(n) $ impair, ce qui est absurde.
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Re: Exercice demonstration irrationnalité

Message par s89ne » 08 août 2018 01:01

Luckyos a écrit :
08 août 2018 00:24
L'exposant de $ p $ dans la décomposition en facteurs premiers (qui existe et est unique) de $ n $ se note $ v_p(n) $ (tu le verras en sup).
Par exemple pour $ n = 90 = 2*3^2*5 $ : $ v_3(n) = 2 $ , $ v_{31}(n) = 0 $ et $ v_5(n) = 1 $ .

Ici on a $ nb^2 = a^2 $, donc $ v_p(nb^2) = v_p(a^2) $ (je suis passé à la valuation $ p $-adique).

Or, $ v_p(xy) = v_p(x)*v_p(y) $ (il suffit de faire le produit des dfp de $ x $ et $ y $ et d'exploiter l'unicité de la décomposition).
D'où $ v_p(n) + 2*v_p(b) = 2*v_p(a) $ avec $ v_p(n) $ impair, ce qui est absurde.
Trés, trés claire explication, merci infiniment!!! :D :D
Cette démonstration est tellement jolie et, assez bizarrement, très intuitive.
Bref, encore merci et bonne soirée :D
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