Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 15, 2018 4:21 pm

Hibiscus a écrit :
mer. août 15, 2018 4:01 pm
1/C'est a dire, pour des tours de 3, que les 167 derniers chiffres de Graham sont

73228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387

2/Cela dit, je vois toujours pas trop le but, sur un forum pour prepas..
1/Il suffit de bidouiller un peu, pour conjecturer ce résultat, la question est pourquoi serait-il le bon, tu sais la partie de la question, à laquelle tu ne réponds pas, où je demande de justifier la méthode ?

2/Effectivement je ne vois pas l'intêret de sélectionner de futur cadre sur la base d'exo de maths plus ou moins difficile à résoudre, mais il se trouve que c'est le mode de sélection que l'on a choisit, et ce n'est pas moi qui ait fait ce choix :D

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 15, 2018 10:20 pm

Bonsoir,

170 : une histoire de suite convergente en milieu hostile
Soit \( f \) une fonction réel quelconque.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(x_n)_n$, non quasi-constante et convergente vers $a$, tel que $(f(x_n))_n$ converge vers $f(a)$ ?

Bonne soirée.

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Nicolas Patrois
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nicolas Patrois » mer. août 15, 2018 10:37 pm

Je dirais non avec une fonction continue nulle part comme celle qui remplit $[0;1[^2$ mais mon petit doigt me dit que ce n’est pas suffisant.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 15, 2018 10:59 pm

Je pense que ton petit doigt ne t'a pas menti.

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Nicolas Patrois
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nicolas Patrois » mer. août 15, 2018 11:34 pm

Avec une fonction bornée, je doute que ça marche (à l’aide d’un théorème du genre segments emboîtés).
Avec une fonction bornée sur aucun intervalle de $\mathbb{R}$, ça m’a l’air une meilleure piste mais je ne vois pas comment le prouver si c’est vrai.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 15, 2018 11:37 pm

Essaie de résoudre celui-ci :

171 : une histoire de suite convergente en milieu hostile 2
Soit \( f \) une fonction réel quelconque.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(x_n)_n$, non quasi-constante et convergente vers $a$, tel que $(f(x_n))_n$ converge ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par JeanN » jeu. août 16, 2018 11:30 am

Dattier a écrit :
mar. août 14, 2018 12:28 am
Bonsoir,

167 : Incroyable mais vrai ?
Déterminer \( G \mod 10^{167} \). On justifiera la méthode.

Avec $G$ le nombre de Graham

Bonne soirée.
On calcule les itérées de la fonction d'Euler et on utilise le théorème de Lagrange.

> N := 167;

> a := 3; for k from 2 to N do a := `mod`(Power(3, a), 2^k) end do;

>
> for k to N do a := `mod`(Power(3, a), 2^(2*N-k)*5^k) end do;
> a;
7322801013297450927344594504343300901096928025352751833289884461\

50894042482650181938515625357963996189939679054966380032223487\

23967018485186439059104575627262464195387
>
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. août 16, 2018 12:24 pm

JeanN a écrit :
jeu. août 16, 2018 11:30 am
On calcule les itérées de la fonction d'Euler et on utilise le théorème de Lagrange.

> N := 167;

> a := 3; for k from 2 to N do a := `mod`(Power(3, a), 2^k) end do;

>
> for k to N do a := `mod`(Power(3, a), 2^(2*N-k)*5^k) end do;
> a;
7322801013297450927344594504343300901096928025352751833289884461\

50894042482650181938515625357963996189939679054966380032223487\

23967018485186439059104575627262464195387
>
Bravo, attention : la premiére boucle doit aller jusqu'à 2N-1 et la deuxième doit être parcourus à l'envers de 2^2N à 10^N.

Le coeur de l'astuce c'est que $\phi^{3N}(10^N)=1$ ainsi la tour de hauteur 3N donne la réponse pour mod 10^N, sachant que la hauteur de la tour de puissance pour G est beaucoup plus que 3N.

Le fait que $\forall j \in\mathbb N, \text{pgcd}(\phi^j(10^N),3)=1$ simplifie le calcul.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nicolas Patrois » jeu. août 16, 2018 12:29 pm

Ça me fait penser à un ou deux problèmes du projet Euler.
INFINITÉSIMAL : On ne sais pas ce que ce c’est, mais a rapport à l’homéopathie.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. août 16, 2018 12:34 pm

Nicolas Patrois a écrit :
jeu. août 16, 2018 12:29 pm
Ça me fait penser à un ou deux problèmes du projet Euler.
Il me semble que c'est une première : le calcul des 167 premiers chiffres (en écritures décimale) du nombre de Graham, sauf preuve du contraire.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Hibiscus » jeu. août 16, 2018 12:47 pm

Dattier a écrit :
jeu. août 16, 2018 12:34 pm
Il me semble que c'est une première : le calcul des 167 premiers chiffres (en écritures décimale) du nombre de Graham, sauf preuve du contraire.
Sauf votre respect, les 500 premiers sont sur la page wikipedia.
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. août 16, 2018 12:53 pm

Hibiscus a écrit :
jeu. août 16, 2018 12:47 pm
Sauf votre respect, les 500 premiers sont sur la page wikipedia.
Et la page a été modifié quand... :D

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Re: Les dattes à Dattier

Message par JeanN » jeu. août 16, 2018 12:57 pm

Quelques justifications ici par Doctor Jacques


http://mathforum.org/library/drmath/view/51625.html


Hibiscus a écrit :
mer. août 15, 2018 4:01 pm
Dattier a écrit :
mer. août 15, 2018 3:40 pm
Pour les amateurs de reccord : le 167
Je viens de le voir, du coup j'ai un doute..
On peut pas juste utiliser un truc du genre
"Renvoit les d derniers decimales de p^^n (n>d), ou p^^n est la tour p^p^...p^p (n p's).
tower_digits:=proc(d,p)
local x, oldx, height;
begin
x := p;
height := 1;
while TRUE do
oldx := x;
x := powermod(p,x,10^d);
if x = oldx mod 10^d then break end_if;
height := height + 1
end_while;
return([x,height])
end_proc

Comme toutes les tours de hauteur plus grande que d ont la meme sequence des derniers digits.

Et on a "juste" a utiliser la methode des "Last Eight Digits of Z"
library/drmath/view/51625 a écrit : using a computer and to force the computer to do this modular exponentiation. We're looking for the
last 8 digits so we will reduce 13^13 mod 10^8 and then take the
answer we get (call it x), and compute: 13^x mod 10^8
Of course, 13^x will be too large to compute (even though x will be
significantly smaller than 13^13 - recall that x is only the last 8
digits of 13^13) unless we force the computer to do the exponentiation
modularly.
Par exemple, en Maple, on triche avec :
> 13^13;
302875106592253
> 13 &^ % mod 10^8;
88549053
> 13 &^ % mod 10^8;
44325053
> 13 &^ % mod 10^8;
84645053
> 13 &^ % mod 10^8;
27045053
> 13 &^ % mod 10^8;
95045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053
> 13 &^ % mod 10^8;
55045053

C'est a dire, pour des tours de 3, que les 167 derniers chiffres de Graham sont

73228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387

Non ?

Cela dit, je vois toujours pas trop le but, sur un forum pour prepas..
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. août 16, 2018 12:58 pm

Rappel :
Dattier a écrit :
lun. août 06, 2018 12:19 pm
les dattes sont fraîches (les énigmes sont originales, si vous connaissez un énoncé similaire merci de le dire)
Ainsi le problème est considèré comme ouvert par l'assemblé de ce forum.

@JeanN : Hibiscus ne donne aucune justification, où alors il faut me dire où...

Aprés c'est toujours la même chose, une fois que la solution est donnée, on trouve ici et là des réponses similaires sur le net, mais jamais avant... c'est étrange cela quand même.

Maintenant, si vous connaissez de telles justifications dans le net, sur des problèmes que je propose, donner les, et j'enlève le problème.
Sans cela les justifications à rebours ne marche pas...Merci d'en tenir compte pour la prochaine fois...

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » jeu. août 16, 2018 1:17 pm

Même Jean n'a pas réussit à trouver une justification dans le net, pour celui-ci, et il a finit par ne plus en vouloir.
Fairez vous mieux que Jean ?
Il suffit pour cela de résoudre le problème ou d'en trouver une justification sur le net :
Dattier a écrit :
lun. août 06, 2018 12:41 pm
156 : Jean n'en veut pas (trés trés diffcile)
Soit k>1, avec \( k=q_1^{\alpha_1}\times... \times q_j^{\alpha_j}, \sum \limits_{i=1}^j \dfrac{1}{q_i}<1 \), les $q_i$ premiers distincts et $\alpha_i\geq 1$.
Montrer qu'il existe une infinité de nombre premier $p$, tel que $p \mod k=1$.

PS : avec une justification de niveau MP
Bon courage.

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