Les dattes à Dattier

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. août 19, 2018 1:05 pm

173 : calcul de borne
Déterminer quand : $ |y+x+1|+|z-y+1|+|x-z+1|+|x+y+z| \leq 3 $, le max et min de $ x+y+z $ .
Intêret il y a derrière une méthode générale.

édit : je me suis trop avancé avec le ||x+y|+z|
Modifié en dernier par Dattier le lun. août 20, 2018 11:12 am, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. août 19, 2018 4:42 pm

174 : le théorème de convergence dominée 6
Si $ (f_n)_n $ une suite de $C^1([0,1])$ convergent simplement vers g continue par morceaux et intégrable sur [0,1], tel que :
$\forall n\in\mathbb N,f_n'<h$ avec $h$ intégrable sur [0,1].
A-t-on $\lim \int_0^1 f_n=\int_0^1 g$ ?

175 : le théorème de convergence dominée 7
Si $ (f_n)_n $ une suite de $C^2([0,1])$ convergent simplement vers g intégrable sur [0,1], tel que :
$\forall n\in\mathbb N, f_n''<h$ avec $h$ intégrable sur [0,1].
A-t-on $\lim \int_0^1 f_n=\int_0^1 g$ ?


certus
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Message par certus » lun. août 20, 2018 8:31 pm

Pour 172 multiplier l'inégalité par exp(-Mx) et intégrer

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Message par Dattier » lun. août 20, 2018 9:03 pm

@certus : Bien vu, on se ramène ainsi au 174 (mais il n'a pas encore été résolu)
Par contre cela permet de ramené le 163 : viewtopic.php?p=935386#p935386
au 161 qui lui a été résolu.

certus
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Re: Les dattes à Dattier

Message par certus » lun. août 20, 2018 11:15 pm

@dattier où est la solution du 161? Merci

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Message par Dattier » mar. août 21, 2018 2:51 am

viewtopic.php?p=937244#p937244

La solution proposé s'adapte à la 161.

BobbyJoe
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Re: Les dattes à Dattier

Message par BobbyJoe » mar. août 21, 2018 4:48 am

Pour l'exo manquant $174$!
SPOILER:
On considère pour tout $x\in [0,1],$ $$\phi_{n}(x)=f_{n}(x)-\int_{0}^{x}h(t)dt.$$ Par hypothèse (grâce à la minoration des dérivées), on a pour tout $x\geq y,$ $$\phi_{n}(y)\leq \phi_{n}(x).$$ En particulier, on a pour tout $x$ appartenant à $[0,1],$ pour tout $n\in \mathbb{N},$ $$\phi_{n}(1) \leq \phi_{n}(x) \leq \phi_{n}(0).$$ La suite de fonctions $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ convergeant simplement sur $[0,1]$, on obtient en particulier (vu que $h$ est intégrable sur $[0,1]$) que la suite de fonctions $(\phi_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est bornée sur $[0,1]$ (uniformément en $n$) et converge simplement vers $t\mapsto g(t)-\int_{0}^{t}h(u)du$ sur $[0,1].$ En effet, par l'encadrement précédent, il suffit d'observer la convergence en $0$ et en $1$!

Ainsi, il vient alors par le théorème de convergence dominée, $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}\phi_{n}(t)dt=\int_{0}^{1}\left( g(t)-\int_{0}^{t}h(u)du \right)dt$$ ce qui est le résultat souhaité en utilisant la linéarité de l'intégrale pour éliminer la partie en $h.$


GaBuZoMeu
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Re: Les dattes à Dattier

Message par GaBuZoMeu » mer. août 22, 2018 3:52 pm

Le problème 21 a été résolu depuis longtemps : il existe des fonctions continues $ T: \mathbb R^2\to \mathbb R^2 $ telles que, pour tout point $ M $ du plan, le centre de gravité du triangle $ M\ T(M) \ T^2(M) $ est l'origine, et qui ne sont pas linéaires. Il y a deux exemples de construction de telles fonctions dans ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 440,page=1.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » mer. août 22, 2018 4:06 pm

Bonjour,

Ok, j'avais bien mis un lien vers ton explication et celle de math-satck, alors no problemo.

Bonne journée.

GaBuZoMeu
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Re: Les dattes à Dattier

Message par GaBuZoMeu » mer. août 22, 2018 4:36 pm

Ce que tu penses est une chose. Ce qui est vrai en est une autre.

Je rappelle les points principaux d'un des contre-exemples du fil mis en lien.

1°) Pour tout point $ M $ de $ \mathbb R^2 $ différent de $ (0,0) $, il existe un unique réel $ a >0 $ et un unique $ \theta \in \mathbb R/2\pi\mathbb Z $ tel que $ M=(a\cos(\theta), a^2\sin(\theta)) $.

On définit $ T : \mathbb R^2\to \mathbb R^2 $ par $ T(0,0)=(0,0) $ et $ T(M)=(a\cos(\theta+2\pi/3), a^2\sin(\theta+2\pi/3)) $ (avec les notations de 1°).

2°) $ T $ est continue.

3°) Pour tout $ M\in \mathbb R^2 $, le centre de gravité du triangle $ M\ T(M)\ T^2(M) $ est $ (0,0) $.

4°) $ T $ n'est pas linéaire.

Peux tu dire précisément quel est le point que tu contestes (éventuellement plusieurs) ?

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Re: Les dattes à Dattier

Message par GaBuZoMeu » jeu. août 23, 2018 6:36 pm

D'accord, tu n'as donc pas de démonstration de ce que tu avances. Normal, puisqu'il y a un contre-exemple.
GaBuZoMeu a écrit :
mer. août 22, 2018 4:36 pm
1°) Pour tout point $ M $ de $ \mathbb R^2 $ différent de $ (0,0) $, il existe un unique réel $ a >0 $ et un unique $ \theta \in \mathbb R/2\pi\mathbb Z $ tel que $ M=(a\cos(\theta), a^2\sin(\theta)) $.
On trouve facilement $ a $ en résolvant l'équation
$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^4}=1 $$
qui donne
$$ a=\sqrt{\frac{x^2}{2}+\sqrt{\frac{x^4}{4} +y^2}}\;. $$
Bien sûr $ \theta $ est le réel modulo $ 2\pi $ tel que $ \cos(\theta)=\dfrac{x}{a} $ et $ \sin(\theta)=\dfrac{y}{a^2} $.
On définit $ T : \mathbb R^2\to \mathbb R^2 $ par $ T(0,0)=(0,0) $ et $ T(M)=(a\cos(\theta+2\pi/3), a^2\sin(\theta+2\pi/3)) $ (avec les notations de 1°).
2°) $ T $ est continue.
On définit $ h : \mathbb R^2\to \mathbb R^2 $ par $ h(0,0)=(0,0) $ et $ h(x,y)=\left(x,\dfrac{y}{a}\right) $ si $ (x,y)\neq (0,0) $ (où $ a $ est celui calculé au 1°). De la sorte, si $ h(x,y)=(u,v) $, alors $ (x,y)=(u,v\sqrt{u^2+v^2}) $. Ceci montre que $ h $ est une bijection, et la formule que nous venons d'écrire montre que son inverse $ h^{-1} $ est continu.
Vérifions que $ h $ est continue, ce qui établira que $ h $ est un homéomorphisme de $ \mathbb R^2 $ sur lui-même. La seule difficulté est la continuité en $ (0,0) $. On remarque que $ a\geq \sqrt{\sqrt{y^2}}=\sqrt{|y|} $ et donc $ \left|\dfrac{y}{a}\right|\leq \sqrt{|y|} $. On conclut que $ h(x,y) $ tend bien vers $ (0,0) $ quand $ (x,y) $ tend vers $ 0 $.
Par construction, $ T=h^{-1}\circ r\circ h $ où $ r $ est la rotation de centre l'origine d'angle $ 2\pi/3 $. Donc $ T $ est continue.
3°) Pour tout $ M\in \mathbb R^2 $, le centre de gravité du triangle $ M\ T(M)\ T^2(M) $ est $ (0,0) $.
C'est une conséquence immédiate de
$$ \cos(\theta)+\cos(\theta+2\pi/3)+\cos(\theta+4\pi/3)=\sin(\theta)+\sin(\theta+2\pi/3)+\sin(\theta+4\pi/3)=0\;. $$
4°) $ T $ n'est pas linéaire.
En effet, la restriction de $ T $ au cercle unité est la rotation d'angle $ 2\pi/3 $. Si $ T $ était linéaire, ce serait donc la rotation d'angle $ 2\pi/3 $ sur $ \mathbb R^2 $, or ce n'est pas le cas.

En conclusion, Dattier, tu n'as pas de démonstration de ce que tu avances et tu as ci-dessus un contre-exemple démontré entièrement. Tu peux donc barrer ta question 21, en indiquant : réponse négative.

NB. Il y a eu une édition de ce fil, avec suppression de plusieurs messages où Dattier prétendait avoir une preuve du fait qu'une transformation du plan vérifiant les hypothèses est nécessairement linéaire, avant de finalement reconnaître qu'il n'en avait pas. Ceci explique par exemple le début de ce message.
Modifié en dernier par GaBuZoMeu le lun. août 27, 2018 12:18 am, modifié 1 fois.

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Re: Les dattes à Dattier

Message par Dattier » dim. août 26, 2018 11:39 pm

Bonsoir,

176 : Système linéaire infini
$ \text{ la série de terme générale réel } x_k \text{ absolument convergente }
\\S : \forall i\in\mathbb N^* , \sum\limits_{k\in\mathbb N^*\text{ ; } i|k}^\infty x_k=a_i
\\\text{a/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une solution ?}
\\\text{b/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme a une unique solution ?}
\\\text{c/ Existe-t-il une suite de réel }(a_i)_i \text{ pour laquelle ce systéme n'a pas de solution ?}
\\\text{d/ Existe-t-il une suite de réel $(a_i)_i$ bornée pour laquelle ce système n'a pas de solution ?} $

177 : Compact radin
Un compact $ C $ est dit radin, s'il existe $(a_n)_n$ tel que $\overline{\{a_n\text{ ; } n\in\mathbb N \}}=C$ et
$\forall m \in \mathbb N, \overline{\{a_n\text{ ; } n\in\mathbb N, n\neq m \}}\neq C$, avec $\text{card}(C)>\text{card}(\mathbb N)$.
Existe-t-il un compact radin ?

178 : Compact généreux
Un compact $ D $ est dit généreux, si $\forall (a_n)_n$ tel que $\overline{ \{ a_n \text{ ; } n \in \mathbb N \} }=D$
et $\forall m \in \mathbb N, \overline{\{\ a_n \text{ ; } n\in\mathbb N, n\neq m \}}=D$, avec $\text{card}(D) \leq \text{card}(\mathbb N)$
a/ Existe-t-il un compact généreux ?
b/ si oui pour a/ : Montrer qu'un compact généreux est super généreux dans un sens que l'on précisera.

179 : dérivée en milieu hostile
$f$ une fonction réel quelconque.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(x_n)_n$ qui converge vers $c$ en étant jamais égale à $c$, tel que :
$\dfrac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}$ converge ?

édit : pour enlevé trés et mettre super.

Bonne soirée.
Modifié en dernier par Dattier le lun. août 27, 2018 1:18 pm, modifié 1 fois.

Nabuco
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Re: Les dattes à Dattier

Message par Nabuco » lun. août 27, 2018 8:33 am

176
SPOILER:
a la suite nulle
b si on a solution on a unicité. Pour cela suffit de montrer que si la suite ai est nulle tous les Xk sont aussi nuls (exo d Ulm de l an dernier). Ça se fait essentiellement avec un crible, on peut montrer par récurrence sur i que si on se donne n entier naturel non nul la somme sur n divise k v_{p_{j}}(n)= v_{p_{j}}(x) pour j entre 1 et i. Le cas j=1 se fait en retirant la somme 2x divise k, le cas j donne j+1 se fait en retirant la somme sur 2x divise k et toutes les égalités de valuations p adiques à celle sur x divise k et toutes les valuations p adiques. On obtient alors facilement que cette suite de série tend lorsque j tend vers l infini vers xj car la série est absolument convergente qui est donc nul.
c d pour avoir une solution on a forcément ai tend vers 0 par absolue convergence.

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