SPOILER:
Remarquons tout d'abord que $ B \cap \mathbb{R}_{+}^{*} \neq \emptyset $, $ B \cap \mathbb{R}_{-}^{*} \neq \emptyset $ et que $ B $ est stable par addition.
On pose à bon droit $ a := \inf (B \cap \mathbb{R}_{+}^{*}) $ et $ b:= \sup (B \cap \mathbb{R}_{-}^{*}) $.
On montre aisément par l'absurde que $ b = -a $ en séparant les cas $ a+b > 0 $ et $ a+b < 0 $.
Montrons ensuite que $ a \neq 0 $ implique $ B = a \mathbb{Z} $.
Supposons que $ a \notin B $.
Soient $ x \in B \cap \mathbb{R}_{+}^{*} $ et $ y \in B \cap \mathbb{R}_{-}^{*} $ tels que $ a < x < 2a $ et $ -x < y < b $.
On a $ 0 < x+y < 2a + b = a $ et $ x+y \in B $. Absurde.
Donc $ a \in B $, et par un raisonnement analogue, $ b \in B $.
On a ainsi $ a \mathbb{N} \subset B $ et $ -a \mathbb{N} \subset B $, soit $ a\mathbb{Z} \subset B $.
Réciproquement, soit $ x \in B $.
Si $ x > 0 $, alors $ x = aq + r $ avec $ q \in \mathbb{N}^{*} $ et $ r \in [0, a[ $. On a $ r = x + bq $.
Or $ bq \in B $ puisque $ bq = -aq \in \mathbb{Z} $. Donc $ r \in B $ puis $ r = 0 $. Ainsi $ x \in a \mathbb{Z} $.
Si $ x < 0 $, on écrit $ x = bq + r $ avec $ r \in ]b, 0] $ et le raisonnement est similaire.
Mais on ne peut pas avoir $ B = a\mathbb{Z} $ car sinon $ 0 \in B $ et il existerait des entiers $ p $ et $ q $ vérifiant $ 2^p = 3^q $.
Donc $ a = 0 $ et on conclut aisément que $ B $ est dense dans $ \mathbb{R} $.
On pose à bon droit $ a := \inf (B \cap \mathbb{R}_{+}^{*}) $ et $ b:= \sup (B \cap \mathbb{R}_{-}^{*}) $.
On montre aisément par l'absurde que $ b = -a $ en séparant les cas $ a+b > 0 $ et $ a+b < 0 $.
Montrons ensuite que $ a \neq 0 $ implique $ B = a \mathbb{Z} $.
Supposons que $ a \notin B $.
Soient $ x \in B \cap \mathbb{R}_{+}^{*} $ et $ y \in B \cap \mathbb{R}_{-}^{*} $ tels que $ a < x < 2a $ et $ -x < y < b $.
On a $ 0 < x+y < 2a + b = a $ et $ x+y \in B $. Absurde.
Donc $ a \in B $, et par un raisonnement analogue, $ b \in B $.
On a ainsi $ a \mathbb{N} \subset B $ et $ -a \mathbb{N} \subset B $, soit $ a\mathbb{Z} \subset B $.
Réciproquement, soit $ x \in B $.
Si $ x > 0 $, alors $ x = aq + r $ avec $ q \in \mathbb{N}^{*} $ et $ r \in [0, a[ $. On a $ r = x + bq $.
Or $ bq \in B $ puisque $ bq = -aq \in \mathbb{Z} $. Donc $ r \in B $ puis $ r = 0 $. Ainsi $ x \in a \mathbb{Z} $.
Si $ x < 0 $, on écrit $ x = bq + r $ avec $ r \in ]b, 0] $ et le raisonnement est similaire.
Mais on ne peut pas avoir $ B = a\mathbb{Z} $ car sinon $ 0 \in B $ et il existerait des entiers $ p $ et $ q $ vérifiant $ 2^p = 3^q $.
Donc $ a = 0 $ et on conclut aisément que $ B $ est dense dans $ \mathbb{R} $.
