Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour Professeur, non je n'ai pas regardé ces cours, par contre la question est tiré d'un énoncé d'oral non corrigé de la RMS
ce résultat y était admis, je n'ai pas posté les questions intermédiaires parce que j’espérais voir une méthode différente que celle proposé par l'énoncé.
A ce jour avec un peu de recul je pense que c'est aussi faisable par le théorème des valeurs intermédiaire en dimension 2, et aussi par le théorème de point fixe de Brouwer.
ce résultat y était admis, je n'ai pas posté les questions intermédiaires parce que j’espérais voir une méthode différente que celle proposé par l'énoncé.
A ce jour avec un peu de recul je pense que c'est aussi faisable par le théorème des valeurs intermédiaire en dimension 2, et aussi par le théorème de point fixe de Brouwer.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Le groupe d'homotopie $ \pi_1 $ (topologie algébrique) est d'ailleurs un moyen de démontrer Brouwer en dimension 2.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Exos sympas MP(*)
On peut aussi faire ça « à la main », par exemple en introduisant un quadrillage comme suit. Attention, c'est pédestre, comme on pouvait s'y attendre.
SPOILER:
Re: Exos sympas MP(*)
Soient $ (\epsilon _n) $ une suite à valeurs dans $ \{-1, 1\} $ et $ (u_n) $ une suite décroissante positive telles que $ \sum \epsilon_n u_n $ converge.
Montrer que $ u_n \sum_{k=0}^{n} \epsilon_k \rightarrow 0 $
Montrer que $ u_n \sum_{k=0}^{n} \epsilon_k \rightarrow 0 $
2015/2016 MPSI Jean Perrin
2016/2017 MP * Lycée du Parc
"Parfois ce sont les personnes que l'on imagine capable de rien qui font des choses que personne n'auraient imaginé"
Le bon vieil Alan
2016/2017 MP * Lycée du Parc
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Le bon vieil Alan
Re: Exos sympas MP(*)
jolie exo, je l'avais vu dans ce TD http://www.denischoimet.com/Exercices_f ... s_1819.pdf , vous êtes élève chez lui ?
on peut omettre l’hypothèse $ e_{n} \in \{-1,1\} $, voici une démonstration :
Il suffit de traiter le cas $ u_{n} $ strictement positif on pose $ S_{n}=\sum_{k=1}^{n} e_{k}u_{k} $ et pour alléger l’écriture $ v_{n}=e_{n}u_{n} $ ,alors pour toute suite $ (w_{n}) $ on a la transformation d'Abel suivante :
$ v_{1}w_{1}+...+v_{n}w_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}S_{k}(w_{k}-w_{k+1})+S_{n}w_{n} $ , d'ou pour $ (w_{n}) $ non nulle :
$ \frac{v_{1}w_{1}+...+v_{n}w_{n}}{w_{n}}~~=S_{n} - \sum_{k=1}^{n-1} S_{k} \frac{w_{k+1}-w_{k}}{w_{n}} $
Il suffit de prendre $ w_{n}=\frac{1}{u_{n}} $ avec $ a_{n,k}=\frac{w_{k+1}-w_{k}}{w_{n}} $ , Le théorème de Silverman-Toeplitz
https://en.wikipedia.org/wiki/Silverman ... tz_theorem permet de conclure.
@V@j votre approche est génialissime, par contre je n'arrive pas à tout suivre, pourriez-vous caricaturalisé votre approché avec un dessin ? Merci
on peut omettre l’hypothèse $ e_{n} \in \{-1,1\} $, voici une démonstration :
Il suffit de traiter le cas $ u_{n} $ strictement positif on pose $ S_{n}=\sum_{k=1}^{n} e_{k}u_{k} $ et pour alléger l’écriture $ v_{n}=e_{n}u_{n} $ ,alors pour toute suite $ (w_{n}) $ on a la transformation d'Abel suivante :
$ v_{1}w_{1}+...+v_{n}w_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}S_{k}(w_{k}-w_{k+1})+S_{n}w_{n} $ , d'ou pour $ (w_{n}) $ non nulle :
$ \frac{v_{1}w_{1}+...+v_{n}w_{n}}{w_{n}}~~=S_{n} - \sum_{k=1}^{n-1} S_{k} \frac{w_{k+1}-w_{k}}{w_{n}} $
Il suffit de prendre $ w_{n}=\frac{1}{u_{n}} $ avec $ a_{n,k}=\frac{w_{k+1}-w_{k}}{w_{n}} $ , Le théorème de Silverman-Toeplitz
https://en.wikipedia.org/wiki/Silverman ... tz_theorem permet de conclure.
@V@j votre approche est génialissime, par contre je n'arrive pas à tout suivre, pourriez-vous caricaturalisé votre approché avec un dessin ? Merci
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Re: Exos sympas MP(*)
Oui j'étais dans sa classe il y a deux ans maintenant
2015/2016 MPSI Jean Perrin
2016/2017 MP * Lycée du Parc
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Le bon vieil Alan
2016/2017 MP * Lycée du Parc
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Le bon vieil Alan
Re: Exos sympas MP(*)
Autour de l'espérance :
Soit $ X,Y $ deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi , et pour simplifier à valeurs dans un ensemble fini.
Montrer que : $ E(|X-Y|) \leq E(|X+Y|) $
Soit $ X,Y $ deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi , et pour simplifier à valeurs dans un ensemble fini.
Montrer que : $ E(|X-Y|) \leq E(|X+Y|) $
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Re: Exos sympas MP(*)
Voilà une preuve générale fondée sur unes astuce due au mathématicien polonais : Jacek Wesolowski.
Soit $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires de $\mathbb{R}^{n}$ intégrables, de même loi et indépendants.
On note $<,>$ un produit scalaire sur $\mathbb{R}^{n}$ et $\|.\|$ la norme associée.
On veut montrer l'inégalité : $$\mathbb{E}[\|X-Y\|]\leq \mathbb{E}[\|X+Y\|].$$
**Lemme
Tout d'abord, il existe une constante $C_{n}>0$ telle que pour tout $u$ appartenant à $\mathbb{R}^{n}$ $$\|u\|=C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\frac{1-\cos(t<x,u>)}{t^{2}}dt.$$
L'intégrande étant positif, on peut calculer formellement.
L'identité à prouver repose sur le fait qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ $$\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin^{2}(tx)}{t^{2}}=C\vert x \vert.$$
Si $u=0$, l'identité est directe. Si $u\neq 0$, on écrit que $\mathbb{R}^{n}$ est somme directe de la droite engendrée par $\frac{u}{\|u\|}$ et de l'orthogonal de cette droite vectorielle pour obtenir après un changement de variable l'identité désirée.
**Preuve de l'inégalité
Par Fubini positif, il vient $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{1-\cos\left(t<x,X+Y>)\right)}{t^{2}}-\frac{1-\cos\left(t<x,X-Y>)\right)}{t^{2}}\right]dt.$$
On a alors avec un peu de trigonométrie que $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=2C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{\sin(t<x,X>)}{t}\frac{\sin(t<x,Y>)}{t}\right]dt.$$
D'où l'on tire par indépendance de $X$ et $Y$ (et du fait que $X$ et $Y$ aient même loi) $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=2C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{\sin(t<x,X>)}{t}\right]^{2}dt\geq 0.$$
Remarque :
On peut également utiliser l'astuce suivante (si $\|.\|$ désigne la norme euclidienne standard sur $\mathbb{R}^{n}$)
$ $$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)^{n}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp(-\frac{\|x\|^{2}}{2})\vert <x,u> \vert dx=\|u \|.$
Bref...
Soit $X$ et $Y$ deux vecteurs aléatoires de $\mathbb{R}^{n}$ intégrables, de même loi et indépendants.
On note $<,>$ un produit scalaire sur $\mathbb{R}^{n}$ et $\|.\|$ la norme associée.
On veut montrer l'inégalité : $$\mathbb{E}[\|X-Y\|]\leq \mathbb{E}[\|X+Y\|].$$
**Lemme
Tout d'abord, il existe une constante $C_{n}>0$ telle que pour tout $u$ appartenant à $\mathbb{R}^{n}$ $$\|u\|=C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\frac{1-\cos(t<x,u>)}{t^{2}}dt.$$
L'intégrande étant positif, on peut calculer formellement.
L'identité à prouver repose sur le fait qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour $x$ appartenant à $\mathbb{R}$ $$\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin^{2}(tx)}{t^{2}}=C\vert x \vert.$$
Si $u=0$, l'identité est directe. Si $u\neq 0$, on écrit que $\mathbb{R}^{n}$ est somme directe de la droite engendrée par $\frac{u}{\|u\|}$ et de l'orthogonal de cette droite vectorielle pour obtenir après un changement de variable l'identité désirée.
**Preuve de l'inégalité
Par Fubini positif, il vient $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{1-\cos\left(t<x,X+Y>)\right)}{t^{2}}-\frac{1-\cos\left(t<x,X-Y>)\right)}{t^{2}}\right]dt.$$
On a alors avec un peu de trigonométrie que $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=2C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{\sin(t<x,X>)}{t}\frac{\sin(t<x,Y>)}{t}\right]dt.$$
D'où l'on tire par indépendance de $X$ et $Y$ (et du fait que $X$ et $Y$ aient même loi) $$\mathbb{E}[\|X+Y\|-\|X-Y\|]=2C_{n}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}dx\int_{\mathbb{R}}\mathbb{E}\left[\frac{\sin(t<x,X>)}{t}\right]^{2}dt\geq 0.$$
Remarque :
On peut également utiliser l'astuce suivante (si $\|.\|$ désigne la norme euclidienne standard sur $\mathbb{R}^{n}$)
$ $$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)^{n}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp(-\frac{\|x\|^{2}}{2})\vert <x,u> \vert dx=\|u \|.$
Bref...
Dernière modification par BobbyJoe le 17 nov. 2018 23:14, modifié 3 fois.
Re: Exos sympas MP(*)
Si c'est la démonstration attendue, alors cet exercice est de mauvais goût...
Professeur de Mathématiques en MP*/MPI* au lycée Hoche
Re: Exos sympas MP(*)
En dimension $ $$1$, il y a une preuve ad-hoc (fondée sur l'inégalité triangulaire) par récurrence sur le nombre de points du support de la loi $ $$X,$ en supposant que $ $$X$ est uniforme (ce qui implique le cas général par la loi des grands nombres)... mais c 'est fastidieux!