Exo de maths

[tsukiyumio]

Bonjour, pouvez-vous m'aider avec cet exo ? Merci.

" Soit A une matrice carrée de taille n diagonalisable.

Soit C(ev) un sous-espace vectoriel des matrices qui commutent avec A.

Question : déterminer la dimension de C(ev)"

<<<<Soit f, g les endomorphismes canoniquement associé à A et M appartenant à C(ev)

Alors puisque A est diagonalisable, alors Mn(K) est une somme directe des sous-evs propres de f,

or fog=gof donc les sous-ev propres de f est stable par g.

Soit b1,b2,....bp les bases des sous-evs propres de f et b1 v b2.... v bp=b une base de Mn(K)

la matrice de g dans la base b est une matrice de diagonale en blocs où chaque bloc est la matrice de g restreint à un sous-ev propre de f.>>>>

Je suis bloqué à là justement.

[Luckyos]

Déjà, fait attention, f et g ne sont pas des endomorphismes de Mn(K), mais de ... (heureusement ça impacte pas ton raisonnement).

Jusque là c'est pas mal, t'as montré que les éléments du commutant de A (ton C(ev)) sont de la forme PBP^(-1) avec P inversible (qui est P ?) et B diagonale par blocs dont les tailles sont les dimensions des sous-espaces propres de A.

Quid de la réciproque ?

[tsukiyumio]

P = Pass (can,b)

Quid de la réciproque ? Comment ça ? (je ne connais pas cet expression)

[Luckyos]

Ca veut dire "est-ce que la réciproque est vraie" en gros.

[tsukiyumio]

Si on suppose le contraire, on démontre que les sous-evs propres de f est stable par g mais cela ne veut pas forcément dire que fog=gof, donc la réciproque n'est pas vraie.

[tsukiyumio]

f, g sont des endomorphismes dans une espace vectoriel E de dimension n et mat f (can) = A et mat g (can) = M appartenant à C(ev)

[Luckyos]

Essaie de raisonner purement matriciellement cette fois : A = PDP^(-1) avec D diagonale (on peut même être plus précis). On peut alors montrer facilement que A commute avec une matrice de la forme PBP^(-1) où B est diagonale par blocs dont les tailles sont les dimensions des sous-espaces propres de A.

[tsukiyumio]

Si je comprends bien, on peut construire une isomorphisme de C(ev) dans l'ensemble des matrices diagonales par blocs ?

[Luckyos]

Oui c'est vers ça que j'essaie de te guider, mais il y a encore une petite étape.

Fait gaffe à être précis sur l'espace si jamais c'est de l'écrit : d'abord définir un ordre des sous-espaces propres (E1, ..., Ep) et c'est l'espace des matrices diagonales par blocs où les blocs ont (dans l'ordre en descendant la diagonale) pour taille dim(E1), ..., dim(Ep).

[tsukiyumio]

Eeet j'imagine que tu vas pas me dire directement comment déterminer la dimension de l'ensemble des matrices diagonales par blocs ?