Message
par oty20 » 17 nov. 2018 22:28
La preuve dans le livre cité plus haut est exactement celle que vous avez proposé , en dimension 1.
On peut se passer de l'identité qui semble parachuté, en faisant la constatation que :
$ |X+Y|-|X-Y|=2\min(X,Y) sign(XY) $ et donc la différence entre les deux membres de l’inégalité peut être écrite comme :
$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2 \int_{0}^{\infty} [P(|X|\geq t, |Y|\geq t, XY\geq 0)-P(|X|< t, |Y|< t, XY< 0)]dt $
Comme $ P(Z \geq t)=P(Z >t) $ presque partout, Compte tenue des hypothèses il vient que :
$ 2E(\min(X,Y) sign(XY)=2\int_{0}^{\infty} [P(X \geq t)]^{2}+ [P(X \leq -t)]^{2}-2P(X \geq t)P(X \leq -t) dt
\\~~~~~~~=2\int_{0}^{\infty} [P(X\geq t)-P(X \leq -t)]^{2} dt \geq 0 $
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .