Arithmétique

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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prepamath
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Arithmétique

Message par prepamath » mer. mars 13, 2019 12:12 am

Bonjour,
Je suis face à l'xo suivant :
Montrer que : $$ (_{n}^{2n}) | \prod_{p..premier} p^{\left \lfloor \frac{ln(2n)}{ln(2p)} \right \rfloor} $$
Mais je n'obtiens pas le bon résultat. J'avais pensé à compter le "nombre d'apparition du facteur p" dans le coeff binomial.
J'ai procédé ainsi : J'ai écrit le coefficient binomial en factorielle. et compter la puissance p maximale dans n!.
Il y a p^k <= n pour k <= la partie entière de ln(n)/ln(p)
Puis il y a (p-1) entiers au plus divisibles par p^k pour un tel k.
D'où le p apparaît au plus à la puissance :
$$ \sum_{i=1}^{\frac{ln(n))}{ln(p)}}i(p-1) $$
Mais je n'aboutis pas

JeanN
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Re: Arithmétique

Message par JeanN » mer. mars 13, 2019 1:06 pm

Es-tu familier de la formule de Legendre ?
Quel est le contexte de cette question (pas si facile...) ?
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prepamath
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Re: Arithmétique

Message par prepamath » mer. mars 13, 2019 1:14 pm

Bonjour,
Je ne connais pas ce résultat et ceci est un énoncé d’oral fourni par mon prof de Mp (sans autre information)

JeanN
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Re: Arithmétique

Message par JeanN » mer. mars 13, 2019 1:31 pm

Bon, le principe d'un oral étant de discuter des pistes avec le candidat, je suppose que l'interrogateur te demanderait de démontrer la formule de Legendre dans un premier temps (cf wiki pour l'énoncé)
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

prepamath
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Re: Arithmétique

Message par prepamath » ven. mars 15, 2019 2:07 am

Ok merci j'ai trouvé grâce à cela.

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