Somme de Riemann ?
Somme de Riemann ?
Bonjour,
Voici mon nouveau sujet de préocupation :
Déterminer la limite de :
$$ \sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^{n\alpha} $$ avec $$ \alpha >0 $$
Auriez vous une piste svp ?
Merci à vous
Voici mon nouveau sujet de préocupation :
Déterminer la limite de :
$$ \sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^{n\alpha} $$ avec $$ \alpha >0 $$
Auriez vous une piste svp ?
Merci à vous
Re: Somme de Riemann ?
Une comparaison série/intégrale devrait fonctionner
Edit: Oublie ce que j'ai dit pardon
Edit: Oublie ce que j'ai dit pardon
Dernière modification par Hypophysaire le 10 avr. 2019 18:53, modifié 4 fois.
Re: Somme de Riemann ?
Bonjour,
Pour répondre au titre ça ne ressemble pas à une somme de Riemann.
Voici une piste pour toi :
Déjà montrer que $$ (1-\frac{k}{n})^{n\alpha} $$ tant quand n tant vers l'infini vers $$ e^{-k\alpha} $$ de manière croissante.
Ensuite tu peux remarquer que :
$$ \sum_{k=0}^n(1-\frac{k}{n})^{n\alpha}=\sum_{k=0}^{+\infty}(1-\frac{k}{n})^{n\alpha}\times\mathbb{1}_{[0,n]}(k) $$
Si tu as besoin de plus d'indications n'hésite pas.
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Re: Somme de Riemann ?
Je n'ai pas compris votre question...
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Re: Somme de Riemann ?
k est fixé quand on fait tendre n vers l'infini, je ne l'ai pas précisé mais ça me semblait évident car la limite dépends de k.
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Re: Somme de Riemann ?
Je confirme que l'idée de Noro fonctionne parfaitement et qu'il suffit de regarder la convergence à $ k $ fixé. C'est la simple application du théorème de convergence dominée aux séries avec la mesure de comptage. D'ailleurs, dans le cas particulier des séries, le théorème de convergence dominée se démontre facilement.
Ancien ENS Cachan (maths) 1999--2003
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Enseignant-Chercheur à l'Enseirb-Matmeca (Bordeaux INP) filière matmeca
Les opinions exprimées ci-dessus sont miennes et ne reflètent pas la position officielle de l'école dans laquelle j'enseigne.
Re: Somme de Riemann ?
En l'occurrence je pensais à la convergence monotone, qui je crois, se démontre encore plus simplement dans le cas des série, en écrivant la suite croissante comme une somme télescopique puis en permutant les deux signes somme.matmeca_mcf1 a écrit : ↑10 avr. 2019 23:13Je confirme que l'idée de Noro fonctionne parfaitement et qu'il suffit de regarder la convergence à $ k $ fixé. C'est la simple application du théorème de convergence dominée aux séries avec la mesure de comptage. D'ailleurs, dans le cas particulier des séries, le théorème de convergence dominée se démontre facilement.
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Re: Somme de Riemann ?
https://artofproblemsolving.com/communi ... 6p10775255 , l"estimation marche aussi au lieu de multiplier par $ n $ , multiplier par $ n\alpha $.....
Ce qui a été proposé par noro est meilleur.
Ce qui a été proposé par noro est meilleur.
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .