Exercices de MPSI

[Nabuco]

http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=70833
A propos de l'exercice évoqué dans ce thread , on peut prouver l'existence d'un x tel que f(x)=g(x) , mais non de l'existence d'un point fixe commun , ma mémoire m'avait trahi, la preuve étant pas mal je la mets ici quand même .
Pour cela on considère la fonction h=f-g qui est continue sur [0,1] , Im(h)=[a,b] , puis on prouve que tout x dans [0,1] pour tout n dans N on obtient par récurrence que na<= f^n-g^n<=nb , cela permet d obtenir na<=1 et nb>=-1 , ce qui donne a<=0<=b , on peut donc appliquer le tvi à h , pour en déduire l'existence de x tel que h(x)=0 donc f(x)=g(x)

Plus simplement par l absurde on peut supposer f>g. Soit x le plus petit point fixe (possible par continuité) de f, g(x) en est aussi un et g (x)<f (x)=x contradiction.

[Mamoun1]

Soit E un $ \mathbb{C} $ espace vectoriel de dimension n. $ G $ un sous-groupe fini de $ GL(E) $
$ F =\cap_{g\in G} \ker g-\mathrm{Id} $. Montrer :
$$ \mathrm{dim} F = \dfrac{1}{|G|} \sum_{g\in G}\mathrm{Tr}(g) $$

On considère la matrice S=1/Card(G) * ( somme M pour M dans G) et on prouve que S²=S , donc S est un projecteur. On prend la trace Et on prouve que dim(F)=rg(S)

[Hicham alpha]

La série des restes d'une série alternée, est-elle alternée ?

Bonjour
Je pense que ce n'est pas toujours alternée ( ca depend de la série alternée initiale (si elle vérifie le critère spécial des series alternées alors la série des restes est forcement alternée. sinon, on peut rien dire, ca depend de la serie ) est-ce vrai ?

par exemple, si on prend la serie de terme general : $ Un = \frac{(-1)^{n-1}}{(-1)^n + n} $, alors elle est alternée et convergente, mais je pense pas que sa serie des restes est alternée aussi

[Hicham alpha]

SPOILER:

Je ne suis pas sûr que cela marche avec ce que tu proposes
le contre-exemple que j'avais en tête est $\dfrac{(-1)^n}{E((n+2)/2)}$

Merci beaucoups.
Ça marche bien.

[Naelvicoz]

Je ne trouve pas celui là

Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $

[Nabuco]

Je ne trouve pas celui là

Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $

Tu peux essayer de prendre une suite u_n avec de grosses lacunes c est à dire pas mal de termes nuls et des termes d une série convergente assez espacé pour avoir la condition voulue

[Errys]

Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.

[Inversion]

Bonjour, si je ne dis pas de bêtise :

Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.

SPOILER:

Supposons par l'absurde que le complémentaire de $G$ dans $\mathbb{R}$ ne soit pas dense dans $\mathbb{R}$. Alors il existe $a<b$ des réels tels que tout $x$ compris entre $a$ et $b$ n'est pas dans le complémentaire de $G$ dans $\mathbb{R}$. Ainsi on a $[a,b]$ inclus dans $G$. Montrons qu'alors on a $G=\mathbb{R}$. Puisque $a \in G$ et $b \in G$ on a $b-a \in G$. Soit $y \in \mathbb{R}$. Notons $r= (y \text{ mod } (b-a))$. On a $r=(r+a)-a$ avec $r+a \in [a,b]$ donc $r \in G$. Alors il existe $n \in \mathbb{Z}$ tel que $y=n(b-a)+r$ donc $y \in G$. Comme $y$ est un réel arbitraire on en déduit $G=\mathbb{R}$, ce qui est absurde car $G$ était supposé être un sous-groupe strict de $(\mathbb{R},+)$.

Bonne journée.

[Beatboxer]

Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $

Bonjour,

SPOILER:

La série $\displaystyle\sum\limits_{\underset{\exists k\in\mathbb{N}^*, n = k^2 }{n\geq 1}} \frac{1}{n}$ ?

[Nabuco]

Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $

Bonjour,

SPOILER:

La série $\displaystyle\sum\limits_{\underset{\exists k\in\mathbb{N}^*, n = k^2 }{n\geq 1}} \frac{1}{n}$ ?

Oui ça marche