Exercices de MPSI

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

Beatboxer
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Re: Exercices de MPSI

Message par Beatboxer » mar. juin 11, 2019 6:12 pm

Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $
Bonjour,
SPOILER:
La série $\displaystyle\sum\limits_{\underset{\exists k\in\mathbb{N}^*, n = k^2 }{n\geq 1}} \frac{1}{n}$ ?

Nabuco
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mar. juin 11, 2019 6:14 pm

Beatboxer a écrit :
mar. juin 11, 2019 6:12 pm
Trouver une série $ \sum u_n $ de réels positifs qui converge mais telle que $ (u_n) $ n'est pas un $ o(1/n) $
Bonjour,
SPOILER:
La série $\displaystyle\sum\limits_{\underset{\exists k\in\mathbb{N}^*, n = k^2 }{n\geq 1}} \frac{1}{n}$ ?

Oui ça marche
Modifié en dernier par Nabuco le mar. juin 11, 2019 6:27 pm, modifié 1 fois.

Beatboxer
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Re: Exercices de MPSI

Message par Beatboxer » mar. juin 11, 2019 6:23 pm

C'est ce qui est demandé non ?... Avec $\frac{1}{n}n \rightarrow 1$

Nabuco
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Re: Exercices de MPSI

Message par Nabuco » mar. juin 11, 2019 6:27 pm

Beatboxer a écrit :
mar. juin 11, 2019 6:23 pm
C'est ce qui est demandé non ?... Avec $\frac{1}{n}n \rightarrow 1$
Ah oui mea culpa.
On peut généraliser en remplaçant 1/n par n'importe quelle suite qui tend vers 0 (dans le petit o).

Mathoss
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Re: Exercices de MPSI

Message par Mathoss » mar. juin 11, 2019 8:01 pm

Une série alternée random du type $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ fonctionne encore pour ces trucs
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Chronoxx
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Re: Exercices de MPSI

Message par Chronoxx » mar. juin 11, 2019 8:23 pm

Mathoss a écrit :
mar. juin 11, 2019 8:01 pm
Une série alternée random du type $\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ fonctionne encore pour ces trucs
Nope, la série doit être de terme général positif.
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<AQT> $   \frac{\pi}{17} $ </AQT>

Varzmir
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Re: Exercices de MPSI

Message par Varzmir » mar. juin 11, 2019 10:44 pm

Errys a écrit :
dim. juin 09, 2019 11:12 am
Soit $ G $ un sous-groupe additif strict de $ \mathbb{R} $. Montrer que son complémentaire est dense dans $ \mathbb{R} $.
Une solution un peu plus courte :
SPOILER:
Si G est dénombrable, Ok par non dénombrabilité de R. Sinon, soit x dans R\G alors x+G est inclus dans R\G et est en bijection avec G non dénombrable.
[EDIT] Hem, j'avais mal lu l'énoncé...
SPOILER:
Si G est discret, ok car R\aZ est dense dans R. Sinon G est dense dans R (théorème classique :) ) et on prend la partie X = x+G où x n'appartient pas à G, qui est dense
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Re: Exercices de MPSI

Message par Naelvicoz » dim. juin 16, 2019 9:59 pm

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie $ n\geq 2 $ et $ u\in\mathcal L(E) $ vérifiant $ u^{n-1}=0 $ et $ u^{n-2}\neq 0 $. Montrer que $ \dim(\ker u)\cap \dim(\mathrm{im } u)=1 $

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oty20
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Re: Exercices de MPSI

Message par oty20 » dim. juin 30, 2019 4:40 pm

Combinatoire:

Soit $n$ un entier naturel. Dénombrer le nombre d'applications $h: \{a_{1},...,a_{2n}\} \to \{0,1\}$ qui vérifient:

$$\sum_{j=1}^{n} h(a_{j}) \leq \sum_{j=n+1}^{2n} h(a_{j})-1$$
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .

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