Probabilités

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

Modérateurs : JeanN, Michel Quercia

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Zeuphro
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Probabilités

Message par Zeuphro » jeu. janv. 11, 2018 10:24 pm

Bonsoir,

Je suis bloquée sur une question de DM.
Énoncé:
Dans une classe, les n élèves organisent un Noël canadien. Ils placent dans un sac les n noms sur un papier, puis prennent chacun un papier au hasard. On note pn la probabilité qu'aucun élève ne trouve son propre nom.

Montrer que : Pn = \( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}/k! \)

Nous n'avons pas vu les probabilités encore, donc je ne sais pas par où commencer. Auriez-vous une première piste?

Merci de votre réponse !

darklol
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Re: Probabilités

Message par darklol » jeu. janv. 11, 2018 11:35 pm

Salut, essaye de trouver une relation de récurrence pour \( p_n \) (ce n’est pas hyper facile à trouver, en général les énoncés traitant de ce problème très connu donnent plutôt directement la relation et demande de la démontrer par un argument de dénombrement).
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JeanN
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Re: Probabilités

Message par JeanN » jeu. janv. 11, 2018 11:50 pm

Zeuphro a écrit :
jeu. janv. 11, 2018 10:24 pm
Bonsoir,

Je suis bloquée sur une question de DM.
Énoncé:
Dans une classe, les n élèves organisent un Noël canadien. Ils placent dans un sac les n noms sur un papier, puis prennent chacun un papier au hasard. On note pn la probabilité qu'aucun élève ne trouve son propre nom.

Montrer que : Pn = \( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}/k! \)

Nous n'avons pas vu les probabilités encore, donc je ne sais pas par où commencer. Auriez-vous une première piste?

Merci de votre réponse !
Y a rien d'autre dans le DM qui pourrait être en lien avec cette question difficile ?
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Siméon
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Re: Probabilités

Message par Siméon » ven. janv. 12, 2018 9:21 am

Zeuphro, tu peux exprimer simplement la probabilité de l'événement complémentaire avec la formule du crible.

Koppnayw
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Re: Probabilités

Message par Koppnayw » ven. janv. 12, 2018 11:13 pm

Ça doit être la probabilité d'obtenir un dérangement (permutation sans point fixe). Pour calculer ceci, tu peux utiliser la formule du crible comme indiqué ci-dessus, mais je trouve qu'il y a plus simple en formant une relation simple entre les nombres de dérangements pour n et n+1 et en calculant les coefficients à l'aide d'une série entière.

Edit : j'avais pas vu mais en gros ça devait être l'idée de darklol
La prépa c'est résoudre des problèmes compliqués qui ont une solution, la vie c'est résoudre des problèmes simples qui n'ont pas de solution.
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Zeuphro
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Re: Probabilités

Message par Zeuphro » sam. janv. 13, 2018 11:54 pm

Bonsoir,

Effectivement dans une autre partie je dois demontrer la formule du crible, ce que je n'ai pas su faire non plus...
Il faut partir de la formule du cardinal de l'union de deux parties d'un ensemble fini mais après je ne sais pas..

Je suis en BCPST1 pour information ^^

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Hibiscus
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Re: Probabilités

Message par Hibiscus » sam. janv. 13, 2018 11:59 pm

C'est une récurrence sur n (dont l'hérédité est un peu longue). Le cas n=2 correspond au cardinal de l'union de deux parties, effectivement.. Mais on part de n=1 (qui est trivial, certes).

(Je ne sais pas si les fonctions indicatrices sont au programme de bcpst, mais ça fait une preuve (beaucoup, beaucoup) plus courte).
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oty20
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Re: Probabilités

Message par oty20 » dim. janv. 14, 2018 12:32 am

https://www.youtube.com/watch?v=qYAWjIVY7Zw je pense que ceci t'aidera , ce n'est pas rigoureux , mais c'est une très bonne représentation de ce qui ce passe
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' all within the four seas are brothers .

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