Oui en effet j'ai lu trop rapidement

La norme d'opérateur d'un endomorphisme continu L d'un espace vectoriel normé F est le plus petit C positif tel que pour tout x\in F , ||Lx||\leq C||x|| . Donc ici ce que je dis c'est juste que T est 1-Lipschitzien ( E muni de la norme \infty ). D'autre part, je ne passe pas au sup sur E , j'utilise...

@Dattier : Si, $ Tf $ est bien dans $ E $ et pour le coup c'est plutôt immédiat (il y a juste à vérifier la continuité en 0 grâce au théorème fondamental de l'analyse). Dans ton exemple tu as fait une erreur de calcul, on a $ Tf(x) =\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x^2+1}-1\right)=\frac{-x} {x^2+1} $

Ça va converger uniformément vers f(0) . Pour le voir, on peut supposer f(0)=0 et alors si l'on fixe \epsilon>0 , la continuité de f en 0 permet d'écrire f=g+h avec ||g||_\infty\leq\epsilon et h vérifiant l'hypothèse (A). En remarquant que la norme d'opérateur de T est inférieure à 1 et en utilisant...

Les points 2/ et 5/ pour ma part

J'obtiens 1/2 au lieu de 1/4 : On peut vérifier facilement que tout entier d avec facteur carré s'écrit de manière unique d=n^2 m avec m sans facteur carré et n\geq 2 . Donc on peut écrire : $$\sum_{d\leq z\text{ avec facteur carré}} \frac{1}{d}\\ =\sum_{m \text{ sans facteur carré} }\sum_{2\leq n\l...

Salut, c'est un sujet d'oral de quelle école ? Il me semble difficile d'éviter de passer par le théorème de Baire (une union dénombrable de fermés d'intérieur vide de \mathbb{R} est d'intérieur vide). Remarquons que les seules valeurs d'adhérence possibles de la suite sont 0 et \pm\infty , donc il s...

Il me semble que ce sont les seuls cas. Lequel des cas que tu as distingué te paraît le plus général ?

Ça n'a pas vraiment de sens de parler de probabilités ici, il s'agit juste d'un énoncé de géométrie où on exclut les hypothèses qui relèvent des cas exceptionnels. Au pire, résouds l'exercice en faisant une disjonction de cas (donc tu as plusieurs valeurs possibles). Puis regarde le cas qui te sembl...

La bonne formulation est "en position générale" ; c'est à dire qu'elles ne se croisent pas deux à deux, ne sont pas coplanaires... En gros on élimine les cas exceptionnels