126 résultats trouvés

par autobox
09 avr. 2021 19:02
Forum : Mathématiques
Sujet : Produit de matrices triangulaires sup strictes
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Re: Produit de matrices triangulaires sup strictes

Le résultat auquel nous pensons tous est : "Si A,B\in M_n(K) sont deux matrices vérifiant A\neq 0 , AB = BA et B nilpotente, alors \textrm{rg}(AB)<\textrm{rg}(A) " Preuve facile, par l'absurde, en considérant la restriction à Im(A) de l'endomorphisme de multiplication par B, qui serait injective (th...
par autobox
02 avr. 2021 21:18
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Sujet : Rang linéaire ?
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Re: Rang linéaire ?

Quel cas général ? :?: Sinon, pour les profs et les chercheurs qui passent par là, le spectre (en dimension quelconque) d'un projecteur P est toujours inclus dans {0,1}. C'est {0} si P=0 et c'est {1} si P = Id. Sinon, P est annulé par la fonction holomorphe x\mapsto x^2-x donc son spectre est inclus...
par autobox
27 mars 2021 18:35
Forum : Mathématiques
Sujet : Rang linéaire ?
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Re: Rang linéaire ?

En revanche, si une somme de projecteurs est encore un projecteur, alors la somme des rangs est aussi le rang de la somme. Preuve : Supposons que (p+q)^2 = (p+q) = p^2+q^2 . Alors pq+qp = 0 en développant (p+q)^2 . On en déduit que (qp)^2 = qpqp = -qpq = (-1)^2(qp) = qp donc qp est un projecteur, e...
par autobox
19 mars 2021 13:14
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Sujet : DM Vecteur aléatoires
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Re: DM Vecteur aléatoires

Tu ne nous dis pas où tu bloques, à quelle question ? Je t'aide pour la 1) : \cos(x) = \dfrac{\exp(ix)+\exp(i(-x))}{2} , pour tout x. Ecris une égalité presque-sûre et intègre la pour trouver pour tout t, E(X_t) = \alpha_t\phi(u_t)+\beta_t\phi(-u_t) , avec u_t,\alpha_t,\beta_t déterministes que je t...
par autobox
18 mars 2021 12:45
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Es-tu bien sûr de ton exo ?
Parce que $ B = A^T $ vérifie la condition pour toute matrice $ A $ sans qu'on ait forcément $ A^T = \alpha A $
par autobox
14 mars 2021 19:15
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

D'où le "prétend" de mon message précédent :mrgreen: Le type semble être un physicien qui pense qu'on n'avait pas encore découvert les coordonées polaires :lol: Ceci dit, si un mathématicien passe derrière, ça peut peut-être lui donner une idée qui sait. C'est comme la méthode de Richardson-Ronberg ...
par autobox
14 mars 2021 16:40
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

C'est pas une preuve niveau recherche ça :mrgreen: Matt Visser prétend avoir prouvé la seconde conjecture de Hard-Littlewood en janvier 2021 https://arxiv.org/abs/2101.03283 . Pour rappel, elle dit que \pi(x+y)\leqslant\pi(x)+\pi(y) pour x,y\geqslant 2 . On savait déjà que c'était le cas pour x,y as...
par autobox
13 mars 2021 20:44
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Il manque un k! au dénominateur dans la base
par autobox
13 mars 2021 20:40
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Oui (P_k = X(X-1)\dots(X-(k-1)) , k\in\{0,\cdots,m\}) est une base de Q_m[X] parce que ce sont m+1 polynômes de degrés distincts. Si on écrit P = \displaystyle\sum_{k=0}^m a_k P_k , avec m = deg(P) et des a_k rationnels, on trouve que pour tout j\in\{0,\cdots,m\} , P(j) = \displaystyle\sum_{k=0}^j a...
par autobox
13 mars 2021 19:42
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Inversion a écrit :
13 mars 2021 19:32
Mourien a écrit :
13 mars 2021 19:24
Pour la 1, c'est non.
SPOILER:
$ n=3 $ et $ P(x)=\dfrac 12 (x-1)(x-2) $
Je me penche sur la 2 !
Je ne comprends pas en quoi c'est un contre-exemple :?
Et ça ne risque pas de fonctionner puisque (n-1)(n-2) est toujours un entier pair :)