Bonjour Inversion,
je vais regarder ce théorème de cartan !

Pour montrer "annulateur scindé" $ \Rightarrow $ "trigonalisable", j'avais en tête la trigonalisation fine à l'aide du lemme des noyaux, mais il y a aussi une preuve par récurrence sur la dimension !

En me relisant il me semble avoir utilisé la propriété non triviale suivante :

Si $ u $ trigonalisable, alors $ u_F $ trigonalisable ($ F $ stable par $ u $)

C'est une histoire de polynôme annulateur scindé et de lemme des noyaux ça.

Bonjour, j'ai lu qu'une matrice réelle antisymétrique et trigonalisable (dans R) était nécessairement nulle. Je n'avais jamais rencontré cette propriété remarquable. Si l'on peut trigonaliser orthogonalement c'est clair. J'ai donc cherché à établir un pendant du théorème spectral. Si F stable par u ...

Ah oui, l'implication est le bon outil pour traduire le tel que ! Merci beaucoup !
(cela m'évitera d'avoir 0 à des questions justes mais faussement rédigées ! )

x\mapsto f\big(\dfrac 1x\big) convexe ssi pour tous \lambda,\mu positifs et de somme 1 , pour tous x,y strictement positifs, f\big(\frac1{\lambda x+\mu y}\big)\le \lambda f(\frac 1x)+\mu f(\frac 1y) De même x\mapsto xf(x) convexe ssi pour tous \alpha, \beta positifs de somme 1 , pour tous u,v stric...

Bonjour, je me demande comment noter le tel que en écriture mathématique. Par exemple, lorsque je veux écrire, "pour tout (x,y) tel que x<y, f(x)<f(y)", j'ai l'habitude d'écrire \forall (x,y), x<y, f(x)<f(y) Cependant ici j'ai écrit que tout x était strictement inférieur à tout y, ce qui peut être f...

Merci pour toutes ces jolies preuves !

@Inversion Je songeais aussi à ce résultat plus dur sur les sommes de Newton mais sa démo n'est pas facile... Je vais essayer de regarder la preuve que tu m'as indiquée et que je ne connaissais pas !

Bonjour et merci pour l'indication :D En effet on a en posant \sigma_k=\displaystyle\sum_{1\le i_1<\dots<i_k\le n} \lambda_{i_1}\dots\lambda_{i_k}=(-1)^{n-k}a_{n-k} Il s'agit ensuite d'exprimer S_k en fonction des (\sigma_k) _{i\le k} On a en fait S_1^k = \sum_{i_1}\dots \sum_{i_k} \lambda_{i_1}\dot...

D'ailleurs ce sont les sommes de Newton de P=\prod_i X-\lambda_i=a_nX^n+\dots+a_0 . Il me semble que l'on a alors en posant S_k=\sum_i \lambda_i^k : \forall k\ge 0, a_nS_{n+k} +\dots +a_o S_k=0 Pour k=0 on a a_0+a_n=0 donc a_n=1,a_0=-1 vu P unitaire. Pour k=1,\dots,n on a a_1, \dots,a_{n-1}=0 car S_...

Bonsoir, je cherche à résoudre le système suivant (dans C) : \begin{array} \\ \lambda_1+\dots+\lambda_n=0\\ \lambda_1^2+\dots+\lambda_n^2=0\\ \dots\\ \lambda_1^{n-1}+\dots+\lambda_n^{n-1}=0 \\ \lambda_1^n+\dots+\lambda_n^n=n\end{array} \{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}=\mathbb U_n les racines n-èmes de ...