137 résultats trouvés

par Mourien
17 juin 2021 12:16
Forum : Mathématiques
Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Merci à vous deux, en effet je préfère clairement la première preuve :D @Calli : je ne connais pas trop la différentielle d'ordre 2, je suis plus accoutumé aux dérivées partielles multiples et j'ai donc raisonné avec les matrices Hessiennes (dans ce cas le laplacien est directement la trace de la He...
par Mourien
17 juin 2021 11:06
Forum : Mathématiques
Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Ton problème se ramène au problème suivant. Etant donné $f:R^n\to R$ de classe $C^2$ et $P\in O_n(R)$, on pose $g:Y\mapsto f(PY)$. Montrer que $\Delta g(Y)=\Delta f(X)$ avec $X=PY$ (et $\Delta g(Y)$ la somme des doubles dérivées qui vont bien par rapport à $y_i$). Et on se ramène au problème origin...
par Mourien
17 juin 2021 10:08
Forum : Mathématiques
Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Prenons (x_1,\dots,x_n) la base canonique sans perdre la généralité. $\Delta g(Y)= \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial^2 g}{\partial y_k^2} (Y)$ Or $g(Y)=(f\circ \hat P )(Y)$ avec $\hat P$ l'endomorphisme de changement de base (la multiplication par $P$). En notant $\hat P_i$ les fonctions co...
par Mourien
16 juin 2021 22:42
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Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Je ne vois pas de composée dans $\Delta f$... (désolé, je suis vraiment lent en calcul diff...)
par Mourien
16 juin 2021 22:03
Forum : Mathématiques
Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
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Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Bonjour, je cherche l'exo suivant : Soit f\in\mathcal C^2(\mathbb R^n,\mathbb R) . Montrer que $\Delta f =\displaystyle \sum_{k=1}^n \partial_k^2 f$ est indépendant de la base orthonormée choisie pour le calculer. Après beaucoup de recherche, j'ai trouvé cette preuve : Je prends $e=(e_1,\dots,e_n)$ ...
par Mourien
16 juin 2021 21:16
Forum : Mathématiques
Sujet : Equation différentielle
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Re: Equation différentielle

Merci, en effet, cf https://www.ens.psl.eu/sites/default/fi ... jets-1.pdf
(2nd exo de la planche 22)
par Mourien
16 juin 2021 16:00
Forum : Mathématiques
Sujet : Equation différentielle
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Equation différentielle

Bonjour, je cherche l'exercice suivant : Soit y : \mathbb R+ →\mathbb R une fonction dérivable telle que $y'(t) = a(t)y(t) + b(t)$ pour tout $t > 0$. On suppose que $a$ est uniformément continue, que $b$ est continue de limite nulle en $+∞$ et que $y$ a une limite en $+∞$. Montrer que $y'(t) → 0$ lo...
par Mourien
13 juin 2021 15:24
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Sujet : Exo Réduction MP
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Re: Exo Réduction MP

Le cas $r=1$ est assez simple en trigonalisant.

En conclusion, la réciproque est vraie si $deg \: \chi_A \wedge \chi_B \le 1$, fausse en toute généralité sinon.
par Mourien
13 juin 2021 15:02
Forum : Mathématiques
Sujet : Exo Réduction MP
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Re: Exo Réduction MP

Ca marche en effet pour tout $2\le r\le n$ : Prenons $A=\begin{pmatrix} \lambda I_r \: 0 \\ 0 \: 0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} K_\lambda \: 0\\ 0\: I_{n-r} \end{pmatrix}$ $ avec $K_\lambda$ une matrice triangulaire supérieure non semblable à l'homothétie de rappoort $\lambda$ vu $r\ge 2$ On choi...
par Mourien
13 juin 2021 14:32
Forum : Mathématiques
Sujet : Exo Réduction MP
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Re: Exo Réduction MP

Même en dimension $\ge 2$ non ?

Une homothétie de rapport $\lambda$ et une triangulaire supérieure non diagonale avec que des $\lambda$ sur la diagonale

Est-ce que ça marcherait pour tout $0\le r \le n$ en raisonnant par blocs ?