143 résultats trouvés

par Mourien
27 juil. 2021 23:59
Forum : Mathématiques
Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Soit $ P\in \mathbb Q[x] $, tel que pour tout $q \in \mathbb N$, $P(E(\sqrt{q})\times q) \in \mathbb Z$ A-t-on $\forall i \in \mathbb N, P(i) \in \mathbb Z$? PS : $E$ la fonction partie entière : $E(1.23)=1$ Oui : Soit $d\ge 1$ le degré de $P$. On a pour $d^2\le q< (d+1)^2$ : $\lfloor \sqrt q\rfloo...
par Mourien
29 juin 2021 00:24
Forum : Mathématiques
Sujet : Exos d'oraux MPSI
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Re: Exos d'oraux MPSI

Pour le premier exercice dans le cas où a\in]-1,1[ il n'est pas difficile de montrer que |az-1|>|z-a|\Leftrightarrow |z|<1 . Avec ton idée, ça me semble marcher pour $-1<a<1$ : Après avoir établi cette équivalence (je n'ai pas mieux que de repasser par partie réelle et imaginaire), on écrit pour $z...
par Mourien
28 juin 2021 23:14
Forum : Mathématiques
Sujet : Exos d'oraux MPSI
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Re: Exos d'oraux MPSI

Oups, l'inverse est involutive :oops:

Dans ma tête il y avait tous les inverses itérés de $ z $ qui étaient racine, mais le problème c'est qu'il n'y en a qu'au plus $2$...
par Mourien
28 juin 2021 23:03
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Sujet : Exos d'oraux MPSI
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Re: Exos d'oraux MPSI

z racine de $P$ $\iff$ $\dfrac 1z$ racine de $P$ non ? ($0$ n'étant jamais racine) edit : en effet comme le remarque Jean, l'hypothèse pertinente est ici que $P=-P^*$ où le polynôme étoilé désigne le polynôme réciproque (si $P=\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k X^k$ alors $P^*:=\displaystyle \sum_{k=0}...
par Mourien
26 juin 2021 20:58
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Sujet : Démonstrations élégantes
Réponses : 23
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Re: Démonstrations élégantes

Une preuve de l'indénombrabilité de [0,1] que je trouve sympa : S'il existe une surjection $f : \mathbb{N}^* \mapsto [0,1]$ alors on pose $U_n = ]f(n)-10^{-n}, f(n)+10^{-n}[$. La famille $(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est un recouvrement ouvert de $[0,1]$ donc on peut en extraire un sous-recouvrement...
par Mourien
25 juin 2021 12:52
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Sujet : Gourdon éditions
Réponses : 3
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Re: Gourdon éditions

Bonjour,

Ce sont essentiellement les mêmes livres.

Les nouvelles éditions ne changent pas grand chose (correction des coquilles, quelques nouveaux exercices et problèmes), hormis pour la dernière édition du tome d'algèbre qui comporte une toute nouvelle partie sur les probabilités il me semble.
par Mourien
17 juin 2021 12:16
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Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
Réponses : 8
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Merci à vous deux, en effet je préfère clairement la première preuve :D @Calli : je ne connais pas trop la différentielle d'ordre 2, je suis plus accoutumé aux dérivées partielles multiples et j'ai donc raisonné avec les matrices Hessiennes (dans ce cas le laplacien est directement la trace de la He...
par Mourien
17 juin 2021 11:06
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Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
Réponses : 8
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Ton problème se ramène au problème suivant. Etant donné $f:R^n\to R$ de classe $C^2$ et $P\in O_n(R)$, on pose $g:Y\mapsto f(PY)$. Montrer que $\Delta g(Y)=\Delta f(X)$ avec $X=PY$ (et $\Delta g(Y)$ la somme des doubles dérivées qui vont bien par rapport à $y_i$). Et on se ramène au problème origin...
par Mourien
17 juin 2021 10:08
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Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Prenons (x_1,\dots,x_n) la base canonique sans perdre la généralité. $\Delta g(Y)= \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial^2 g}{\partial y_k^2} (Y)$ Or $g(Y)=(f\circ \hat P )(Y)$ avec $\hat P$ l'endomorphisme de changement de base (la multiplication par $P$). En notant $\hat P_i$ les fonctions co...
par Mourien
16 juin 2021 22:42
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Sujet : Le laplacien est indépendant de la base orthonormée
Réponses : 8
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Re: Le laplacien est indépendant de la base orthonormée

Je ne vois pas de composée dans $\Delta f$... (désolé, je suis vraiment lent en calcul diff...)