Une belle preuve, beaucoup plus constructive que la mienne. Voici ma solution. On suppose que $rg(u,v,w) = 2$, que $(u,v)$ est $\mathbb{R}$ libre (le cas de rang $1$ se traite comme l'a fait Mourien) et on note $Z = \mathbb{Z}u + \mathbb{Z}v + \mathbb{Z}w$. On munit $\mathbb{R}^{2}$ de la norme infi...

L'adhérence est prise dans la topologie de $\mathbb{R}^{2}$ comme un $\mathbb{R}$ espace vectoriel normé donc c'est la même chose.

Pour l'exercice 1, soient $a,b \in D$ tels que $aDb$ est de cardinal minimal et soit $x \in D$. L'application $f_{x}$ de $E = aDb$ dans $xaDb$ qui à $t$ associe $xt$ est surjective car $|xaDb| \leq |aDb|$ et par minimalité, on a égalité. Ainsi, elle est aussi injective. Maintenant, on suppose que $T...

Pour l'exercice deux de Mourien, est ce qu'on parle de l'ensemble lui même ou de son espace vectoriel engendré? Je pense que la réponse est non si c'est l'ensemble lui même dans les deux cas. Si c'est infini, soit $\{f^{n}(x), n \in \mathbb{N} \}$ est inclu dans un espace de dimension finie de $E$, ...

Je propose une autre solution. On remarque que pour tout polynôme $P$ unitaire de degré $n$ qui admet zéro comme racine, $\sum_{i=1}^{n} P(\lambda_{i}) = n$. On note $P = \prod_{i=1}^{n} (X-\lambda_{i})$. Pour tout $j$, on a $\lambda_{j}\prod_{i \neq j}(\lambda_{j}-\lambda_{i}) = n$ donc $\lambda_{j...

Une sommation par parties du carré de la quantité donnée permet d'aboutir au résultat.

La réciproque d'une fonction convexe est convexe si la fonction est décroissante et concave si elle est croissante.

Pour la 5éme question, une application de ce théoréme est la démonstration que la réciproque d'une bijection continue d'un intervalle de R dans un intervalle de R est continue.

Tu peux aussi juste faire le produit sur les nombres impairs et obtenir un même ordre de grandeur.

Pour une preuve un peu plus rapide, vous pouvez considerer $(e_{0},...,e_{n-1})$ une base de $E$ et la famille $(\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}e_{i})_{x \in \mathbb{R}}$.