467 résultats trouvés

par Siméon
12 mars 2019 11:30
Forum : Mathématiques
Sujet : Puissance d'un cycle
Réponses : 1
Vues : 408

Re: Puissance d'un cycle

En considérant la décomposition en cycles à supports disjoints de $ \sigma^k $, qui commute avec $\sigma$, tu peux montrer que c'est un cycle non trivial si et seulement si c'est un $n$-cycle, c'est-à-dire si et seulement si c'est un élément d'ordre $n$ du groupe cyclique engendré par $\sigma$.
par Siméon
09 mars 2019 14:52
Forum : Mathématiques
Sujet : Exos sympas MP(*)
Réponses : 6813
Vues : 632696

Re: Exos sympas MP(*)

D'accord, j'avais lu un peu vite ! Mon idée était en fait assez proche. Pour tout $x_0 \in \left]0;1\right[$, on construit par récurrence une suite $(x_k)_{k\in \mathbb N}$ strictement croissante telle que les événements $A_k = \{f(x_0),\dots,f(x_k) \text{ sont non nuls et de même signe}\}$ vérifien...
par Siméon
08 mars 2019 22:51
Forum : Mathématiques
Sujet : Exos sympas MP(*)
Réponses : 6813
Vues : 632696

Re: Exos sympas MP(*)

À propos de l'oral d'Ulm posé par l'X en Y. Une idée qui fonctionne (je ne donne pas tous les détails, seulement quelques grandes lignes). [...] En utilisant convenablement le lemme de Borel-Cantelli, on peut alors conclure (je reste volontairement succint)... Je serais curieux de voir ce que tu as ...
par Siméon
01 févr. 2019 18:04
Forum : Mathématiques
Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Ce serait dommage, je trouve que ce sont souvent de bonnes énigmes si on a un peu de temps devant soi. Je t'ai juste répondu sur la question « proposables comme colles en MP ».
par Siméon
01 févr. 2019 16:00
Forum : Mathématiques
Sujet : Preuve concise
Réponses : 11
Vues : 1185

Re: Preuve concise

Tant que j'y pense, pour aller encore plus vite on peut aussi obtenir directement $\left|e^z - \left(1+\frac zn\right)^n\right| \leqslant \frac{|z|^2}{n}e^{|z|} $ en appliquant l'inégalité des acroissements finis à $t \mapsto e^{-tz}\left(1+\frac {tz}n\right)^n$ entre $0$ et $1$. Une pierre deux co...
par Siméon
01 févr. 2019 15:56
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Sujet : Décomposition en éléments simples
Réponses : 2
Vues : 492

Re: Décomposition en éléments simples

Je n'ai jamais eu les canons en tête pour ce genre de calcul (relis dans ton cours, ça doit y être). Ici je ferais simplement un développement à l'ordre 1 de $(X-1)^2 F(X)$ en $1$ pour obtenir $a$. Tu peux refaire la même chose en $j$ pour obtenir $c$ puis son conjugué ou, de façon plus astucieuse, ...
par Siméon
01 févr. 2019 15:27
Forum : Mathématiques
Sujet : Exos sympas MP(*)
Réponses : 6813
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Re: Exos sympas MP(*)

Je ne suis certainement pas le mieux qualifié pour répondre. Pour la plupart de tes questions, je dirais que la réponse est clairement non en MP. Surtout celles qui sont formulées de manière ouverte (ceci démultiplie la difficulté). Même dans une très bonne MP*, je ne m'y risquerais pas sauf avec de...
par Siméon
30 janv. 2019 23:19
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Sujet : Preuve concise
Réponses : 11
Vues : 1185

Re: Preuve concise

$ $Dans la même veine en utilisant la factorisation $a^n - b^n$ par $a- b$ on obtient facilement :
$$
\left|e^z - \left(1+\frac zn\right)^n\right| \leqslant \left|e^{\frac zn} - 1 - \frac zn\right|\, ne^{|z|}
$$

Edit : coquille corrigée.
par Siméon
29 janv. 2019 09:49
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Esquisse pour le 949757 : En considérant la matrice de (u_2-u_1,\dots,u_k-u_1) dans une base orthonormale fixée, ceci se ramène à l'existence de M \in \mathcal M_{n,k-1}(\mathbb R) telle que ${}^tMM = G$ avec pour tous $(i,j) \in [\![1,k-1]\!]^2$, $G_{i,i} = 1$ et $G_{i,j} = \frac12$ si $i \neq j$. ...
par Siméon
19 janv. 2019 23:08
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Sujet : Exos sympas MP(*)
Réponses : 6813
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Re: Exos sympas MP(*)

@Dattier : Oui, mais après ? J'ai du mal à croire que ça donne une solution plus simple ou plus rapide que passer directement par l'existence d'une partie dénombrable dense de $C([0,1] ; \mathbb R)$ pour la norme infinie.