Sauf que les maths sont rarement une affaire d'astuce à mon avis... Peut-être dans certains calculs à la rigueur, peut-être....
Les théorèmes complexes ne comportent aucune astuce juste une compréhension profonde de certains phénomènes.
Enfin, juste des mes deux sous à la discussion.

Exo 80 L'idée est de développer jusqu'à un certain ordre l'expression pour faire apparaître clairement une partie absolument convergente et une partie convergente par une transformation d'Abel. On écrit que pour $k\geq 2,$ \begin{align*} \exp(i\frac{k^{2}+1}{k-1})& =\exp(i(k+1))\times \exp(i\fr...

Vraiment, j'insiste.... Non justement.... $B_{n}(f)\geq B_{n}(g)$ implique bien que $B_{n}(f)+(g-B_{n}(g))\geq B_{n}(g)+(g-B_{n}(g))=g.$ Mais la suite de fonctions de $\mathcal{C}^{1}$ qui CVU vers $f$ est là sous tes yeux : $(B_{n}(f)+(g-B_{n}(g))_{n\geq 0}$ car $g$ est supposée $\mathcal{C}^{1}$ s...

Exo 62 : Pour $62,$ la CNS est que $a>.2$ L'idée pour ce type d'exercices est de regarder ce qu'il se passe sur la diagonale pour "intuiter" le résultat. Si $a>2,$ on regarde les indices $(i,j)$ tels que $i\geq Cj^{\frac{a}{2}}$ et $j\geq (\frac{i}{C})^{\frac{2}{a}}.$ Vu que la série doub...

Exo 56 Soit $n$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}.$ On a par Taylor-Lagrange, pour tout $k$ appartenant à $[n,2n],$ $$ f(\frac{1}{k})=f(0)+\frac{1}{k}f'(0)+\frac{1}{2k^{2}}f''(x_{k}) \mbox{ où } x_{k}\in]0,\frac{1}{k}[.$$ On a alors vu que $f(0)=0,$ que $f$ est $\mathcal{C}^{2}$ et par une comparaison ...

Non mais pour le $78$.... Je n'utilise pas ça ... J'écrit juste comme $ $$B_{n}(f)\geq B_{n}(g)$ que $ $$B_{n}(f)+(g-B_{n}(g))\geq B_{n}(g)+(g-B_{n}(g))=g.$

J'ai écrit par convergence uniforme que $B_{n}(g)\geq g-\varepsilon_{n}$ avec $\varepsilon_{n}:=g-B_{n}(g) \rightarrow_{n \rightarrow +\infty} 0$ uniformément sur $[0,1]$ On a alors $B_{n}(f)+\varepsilon_{n} \geq g.$ Cette suite de fonctions $\mathcal{C}^{1}$ convient. Pour l'exercice $13,$ pour mo...

Exo 13: La réponse est oui. On distingue deux cas : -si $\|f'\|_{\infty}$ n'est pas atteint au point $0.$ On considère alors $\displaystyle \phi : x\mapsto \|f'\|_{{\infty},[0,x]}.$ Ensuite, on considère $\displaystyle g : x \mapsto \int_{0}^{x} \phi(t)dt.$ On a alors que $g$ est convexe comme la p...

Exo 79 On applique Ascoli à la suite de compacts $(I_{n}=[-n,n])_{ n\geq 0}.$ Sur $I_{n},$ la famille $f_{k}$ est bornée (par le caractère $1$ lipschitzien et par le fait que $(f_{k}(0))$ est bornée) et équicontinue. On construit par récurrence une sous-suite $\phi_{n+1}$ de $\phi_{n}$ qui vérifie ...

Exo 78 On utilise les polynômes de Bernstein... On a clairement sur $[0,1]$ $$\forall n\in \mathbb{N},\mbox{ } B_{n}(f)\geq B_{n}(g).$$ Mais par convergence uniforme des polynômes de Bernstein vers $f$ et $g$ respectivement , on construit aisément une suite de fonctions vérifiant les conclusions de...