178 résultats trouvés

par BobbyJoe
28 août 2018 05:06
Forum : Mathématiques
Sujet : sous suites
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Re: sous suites

Toute suite bornée (de vecteurs, en dimension finie) admet une sous-suite convergente et ceci pour n'importe quelle norme (car toutes les normes sont équivalentes en dimension finie). En revanche, le résultat devient carrément faux en dimension infinie! Exemple : Considérons $E=\ell^{2}(\mathbb{N})$...
par BobbyJoe
28 août 2018 02:48
Forum : Mathématiques
Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Il me semble pour reprendre l'idée de @Nabuco qu'il existe une formule d'inversion basée sur la fonction de Mobius $\mu$... Soit $(x_{k})$ et $(a_{k})$ sont deux suites (indéxées par $\mathbb{N}^{*}$) qui sont $\ell^1.$ Si pour tout $i\geq 1,$ $\sum\limits_{i|k}x_{k}=a_{i} \mbox{ i.e. } \sum\limits_...
par BobbyJoe
23 août 2018 16:42
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Justement non, ce n'est pas vrai que pour $k\geq 1$, $f(k)\geq k.$ On peut par exemple penser à construire $f$ comme suit : sur l'ensmble des puissances $4-$ième, $f(n^{4})=n^{2}$ et ailleurs, $f=\phi$ où $\phi$ est une bijection de $\mathbb{N}^{*}\setminus (\mathbb{N}^{*})^{4}$ sur $\mathbb{N}^{*}\...
par BobbyJoe
23 août 2018 14:44
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Le comme $f$ est injective nécessite un brin d'explication, si tu le désires! Comme $f$ est injective, alors $f$ envoie un ensemble de cardinal $n$ sur un ensemble de même cardinal. En particulier, l'image par $f$ de $\{n+1,\ldots,2n\}$ est un ensemble à $n$ éléments et donc $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\...
par BobbyJoe
23 août 2018 12:15
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Pour répondre à la question $2)$ comme $f$ est injective alors $$\sum_{k=n+1}^{2n}f(k)\geq \sum_{k=1}^{n}k \sim \frac{n^{2}}{2}.$$ Mais alors pour $n\gg 1,$ $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{f(k)}{k^{2}}\geq \frac{1}{4n^{2}}\sum_{k=n+1}^{2n}f(k) \gg 1.$$ Ainsi, la série des $(u_{n})$ diverge car ne satisfait...
par BobbyJoe
23 août 2018 12:09
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Sujet : Permutation
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Re: Permutation

Je présume que tu veux dire une permutation de $\mathbb{N}^{*}$ (car une application injective, corestreinte à son image, est toujours une bijection). Non, ce type de résultat n'est valable que les deux ensembles au départ et à l'arrivée ont même cardinal fini ! Dans ton exemple, il suffit de consid...
par BobbyJoe
21 août 2018 04:48
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Pour l'exo manquant $174$! On considère pour tout $x\in [0,1],$ $$\phi_{n}(x)=f_{n}(x)-\int_{0}^{x}h(t)dt.$$ Par hypothèse (grâce à la minoration des dérivées), on a pour tout $x\geq y,$ $$\phi_{n}(y)\leq \phi_{n}(x).$$ En particulier, on a pour tout $x$ appartenant à $[0,1],$ pour tout $n\in \mathb...
par BobbyJoe
14 août 2018 07:15
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Au passage, vu qu'"absolument continue" implique "à variations bornées", il est sans doute de bon ton de donner un contre-exemple d'une fonction qui n'est pas "absolument continue" mais "à variations bornées"!
par BobbyJoe
14 août 2018 04:57
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

Juste pour info : Pour le $168,$ il suffit de prendre une fonction qui n'est pas absolue continue (dont la dérivée faible n'est pas dans $L^{1}$). L'escalier du diable (i.e. la fonction de répartition de la loi uniforme supportée par le Cantor triadique) est un exemple de telle fonction, qui est pou...
par BobbyJoe
13 août 2018 16:22
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Sujet : Les dattes à Dattier
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Re: Les dattes à Dattier

En effet, typiquement une fonction continue nulle part monotone... Mais bon, le point crucial est tout de même qu'une fonction à variations bornées est aussi dérivable en presque tout point donc bon... (c'est le point essentiel à mon avis pour produire la contradiction!)