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par Mourien
11 janv. 2021 21:37
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Sujet : Théorème de convergence monotone
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Re: Théorème de convergence monotone

C'est un exo de mon td. J'ai oublié de préciser que $ f $ est continue par morceaux (mais c'est sous entendu puisqu'on se permet de l'intégrer). A part ça, on ne sait rien de plus !
par Mourien
11 janv. 2021 17:14
Forum : Mathématiques
Sujet : Théorème de convergence monotone
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Théorème de convergence monotone

Bonjour ! J'aimerais démontrer l'énoncé suivant: Soit (f_n) une suite croissante de fonctions integrables sur un intervalle I de \mathbb R , convergeant simplement vers f . Montrer que (\int_I f_n)_{n\ge 0} est majorée équivaut à l'intégrabilité de f et qu'alors on a lim_{n\rightarrow \infty} \int_I...
par Mourien
08 janv. 2021 00:13
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Sujet : Approximation uniforme, sous espaces de polynômes
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Oui tout à fait d'accord avec la construction pour la racine p-eme Si on a R_n\rightarrow_{\infty} X^{\frac1p} [edit] avec 0 racine de chaque R_n , alors X, X^2,... sont dans l'adhérence de X^p\mathbb R[X] . si f_n, g_n cvu vers f, g bornes on a f_n\cdot g_n cvu vers fg Ainsi toute limite uniforme d...
par Mourien
07 janv. 2021 23:32
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Sujet : Approximation uniforme, sous espaces de polynômes
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Je ne connais pas Bernoulli, je veux bien vous faire confiance pour la convergence uniforme vers la racine p-ème ! Si on prend P_n\rightarrow_{\infty} f par Weierstrass , on a P_n(0)\rightarrow f(0)=0 donc XQ_n=P_n-P_n(0)\rightarrow_{\infty} f Ici, si on note R_n\rightarrow_{\infty} (x\mapsto x^{-p}...
par Mourien
07 janv. 2021 21:26
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Sujet : Approximation uniforme, sous espaces de polynômes
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

J'ai relu la preuve et il y a quelque chose qui m'embête... Je suis allé trop vite dans le passage Ensuite, si l'on a X^pQ_n\rightarrow f , on a donc par produit (fonctions bornées) X^{p-1}P_n^2Q_n\rightarrow f [...] En fait, on a \vert \vert X^pQ_n-f\vert\vert_{\infty} \rightarrow 0 et \vert \vert ...
par Mourien
07 janv. 2021 18:14
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Sujet : Approximation uniforme, sous espaces de polynômes
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Re: Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Je ne vois pas trop quoi faire avec des racines p-emes, mais l'approximation uniforme de la racine me semble convenir ! Il me semble que P_0=0, \forall n\in\mathbb N, P_{n+1}=Pn+\dfrac{Id - P_n^2}2 converge uniformément vers la racine sur [0,1] . A partir de la on montre que X\mid P_n \Rightarrow X\...
par Mourien
07 janv. 2021 17:33
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Sujet : Approximation uniforme, sous espaces de polynômes
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Approximation uniforme, sous espaces de polynômes

Bonjour, je cherche l'énoncé suivant : Dans E=\mathcal C([0, 1], \mathbb R) muni de la norme infinie, déterminer l'adhérence de X^p\mathbb R[X] pour p\in\mathbb N . Pour p=0, c'est E, pour p=1, c'est l'ensemble des fonctions qui s'annulent en 0 en utilisant le théorème de Weierstrass et un peu de co...
par Mourien
07 janv. 2021 13:37
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Sujet : Approximation uniforme par des exponentielles decroissantes
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Re: Approximation uniforme par des exponentielles decroissantes

Merci prepamath ! En effet, le théorème de Weierstrass donne une approximation uniforme polynomiale de toute fonction continue depuis un segment. En ramenant continûment \mathbb R+ à [0,1] par x\mapsto e^{-x} comme tu le suggéres, on obtient une fonction continue (prolongeable en 0 car elle a une li...
par Mourien
07 janv. 2021 08:08
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Sujet : Approximation uniforme par des exponentielles decroissantes
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Re: Approximation uniforme par des exponentielles decroissantes

C'est ça, il s'agit de caractériser l'adhérence de $ Vect(x\mapsto e^-{kx} ) _{k\in\mathbb N} $ pour la norme infinie.
par Mourien
06 janv. 2021 23:12
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Sujet : Approximation uniforme par des exponentielles decroissantes
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Approximation uniforme par des exponentielles decroissantes

Bonsoir, je cherche l'énoncé suivant : Soit f\in C^0(\mathbb R_+,\mathbb R) . Trouver une condition nécessaire sur f pour qu'elle soit limite uniforme d'une suite de fonctions de la forme x\mapsto \displaystyle \sum_{k=0}^n \lambda_k e^{-kx}, (\lambda_0,\dots,\lambda_n)\in \mathbb R^{n+1} Analyse: o...