Voici comment j'aurais fait Soit F l'ensemble des fonctions strictement croissantes à domaine et codomaine finis inclus respectivement dans A et B. Elles sont en particulier injectives, puisque strictement croissantes... Je suppose que tu ne sais pas ce qu'est un codomaine, alors remplace le par le ...

Merci pour cette preuve ! La compacité est un outil très élégant ici ! Il reste celui-là : Moi aussi je propose un exercice : Expliciter (par une formule) une famille libre indénombrable du $\mathbb Q$ espace vectoriel $\mathbb R$ Une indication ? As-tu essayé de voir si ça fonctionne avec \left\{e...

L'orthogonal d'une partie est égal à l'orthogonal de l'espace vectoriel qu'elle engendre, par linéarité du produit scalaire :wink: Donc dans ton exemple, l'orthogonal d'une base (hilbertienne), c'est égal à l'orthogonal de la famille qu'elle engendre, c'est à dire l'ensemble tout entier. L'espace to...

Mourien Qu'est-ce que S dans le premier exo ? Dans le deuxième, tu parles d'un ev normé (donc métrisable) ou d'un ev topologique ? Dans tous les cas, s'il en existe il sera forcément séparable (vu la conclusion). Aussi, tu parles d'une application linéaire, ou bien tu cherches une application linéai...

Voilà une autre idée qui devrait t'intéresser. 1) (iA)^\ast = -iA^T = iA , donc iA autoadjointe, donc iA diagonalisable dans \mathbb{C} et à valelurs propres réelles. Donc A est diagonalisable dans \mathbb{C} à valeurs propres imaginaires pures . 2) A est trigonalisable dans \mathbb{R} donc de poly...

Voilà une autre idée qui devrait t'intéresser. 1) (iA)^\ast = -iA^T = iA , donc iA autoadjointe, donc iA diagonalisable dans \mathbb{C} et à valelurs propres réelles. Donc A est diagonalisable dans \mathbb{C} à valeurs propres imaginaires pures . 2) A est trigonalisable dans \mathbb{R} donc de polyn...

Tu peux aussi voir T_G comme un opérateur qui a f associe quelque chose qui ressemble à (l'opposé de) sa divergence. Parce que \displaystyle\sum_{y\textrm{ voisin de } x}{f(x)-f(y)} = \displaystyle\sum_{y:d(x,y)=1}\dfrac{f(x)-f(y)}{d(x,y)} est la somme des coordonnées de {-\nabla_x f = \left(\dfrac{...

Ok désolé, alors niveau sup, note (S_n) la suite des sommes partielles. Suppose que (S_n) converge vers une limite L , finie. Alors S_{n}-S_{n-1} \xrightarrow[n\to +\infty]{} L-L = 0 . Mais S_n-S_{n-1} = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}\sin(1/n)} ne converge même pas, puisque sa valeur absolue tend vers l'in...

Petite astuce à retenir quand t'as des sinus et des puissances de n : sqrt(n).sin(1/n) = 1/sqrt(n) . sinc(1/n) où sinc est le sinus cardinal, qui tend vers 1 en 0 Ce truc tend vers 0, donc son inverse tend vers l'infini, équivalent à sqrt(n), on est d'accord. Mais à vue de nez je dirais que ça doit ...

Tu peux aussi voir que M commute avec l'identité, donc (M+I)^2 = M^2 + 2M + I . En posant N = M+I , ça te ramène à chercher les racines carrées éventuelles de A = ((0,1),(1,0)). Martice qui est diagonalisable sur C car de polynôme caractéristique scindé simple. Dans le cas réel ça se voit tout de su...