Non, je ne fais pas de théorie des nombres (mais j'ai lu et je continues à lire sur le sujet car je trouve cela intéressant! ^^) Oui, pour démontrer le théorème de Dirichlet (dans sa version non quantitative), il existe des preuves purement par l'analyse réelle (mis à part des considérations sur des...

Il existe une preuve rapide de ce résultat mais qui repose sur un théorème taubérien (modéremment difficile à démontrer dans sa forme non quantitative): le théorème de Wiener-Ikehara (qui permet également de démontrer le théorème des nombres premiers). Les détails sont donnés dans le fabuleux livre ...

Tu peux par exemple intégrer par rapport à un des paramètres et utiliser le fait que si une application linéaire est "proche" de l'identité, elle est aussi inversible (n'oublie pas que l'on est en dimension finie!)

Pour le sens direct, connais-tu la forme de Bernoulli (ou la formule d'une somme géométrique)? Pour la réciproque, on effectue la division euclidienne de $m$ par $n.$ On a alors $m=un+v$ pour un certain couple $(u,v)$ d'entiers tel que $0 \leq v <n.$ On écrit alors $$a^{m}-1=a^{un+v}-1=(a^{un}-1)a^{...

Un exercice amusant (maintenant à la lisière du programme de spé de MP car on y fait peu d'équa diff. et peu de dualité...) Soit $E$ sous-espace vectoriel de dimension finie de $\mathbb{C}^{0}(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ On suppose que $E$ est invariant par translation i.e. pour tout $f$ appartenant à ...

Il est possible qu'en connaissant le résultat on puisse trouver une preuve plus rapide... Introduisons pour $u$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ le polynôme $\displaystyle P(X)=\prod_{i=0}^{u}(X+i).$ Alors par une décomposition en éléments simples, on a $\displaystyle \frac{1}{P(X)}=\sum_{i=0}^{u}\fra...

Je dirais certes, tu veux être véto et donc il vaut mieux maximiser sa note au concours dans les matières fortement coefficientées... mais il s'agit d'un concours difficile et rien ne te garantis d'avoir une bonne note en bio! Il est plus facile de stabiliser sa note en maths pour gagner "facil...

Le truc amusant est de construire une fonction dérivable en tout point qui n'est monotone sur aucun intervalle (les fonctions de type Cauchy-Pompéiu)
avec les raffinements qui vont avec (en choisissant la fonction lipschitzienne mais pas mieux...)

Pour ton avant dernier exemple, ce n'est pas vrai! C'est un théorème difficile de Gerver (sur la dite: "seconde fonction de Riemann") que cette fonction a précisément un ensemble de points de dérivabilité très spécial (le quotient de deux entiers impairs si mon souvenir est bon!) Voilà le ...

Tu as oublié de compléter l'argument... car $ $$f$ n'est dérivable en aucun point bien qu'elle soit continue... Mais cela ne sent pas trop "l'exercice" jouable en sortie de terminale :p