Non mais pour le $78$.... Je n'utilise pas ça ... J'écrit juste comme $ $$B_{n}(f)\geq B_{n}(g)$ que $ $$B_{n}(f)+(g-B_{n}(g))\geq B_{n}(g)+(g-B_{n}(g))=g.$

J'ai écrit par convergence uniforme que $B_{n}(g)\geq g-\varepsilon_{n}$ avec $\varepsilon_{n}:=g-B_{n}(g) \rightarrow_{n \rightarrow +\infty} 0$ uniformément sur $[0,1]$ On a alors $B_{n}(f)+\varepsilon_{n} \geq g.$ Cette suite de fonctions $\mathcal{C}^{1}$ convient. Pour l'exercice $13,$ pour mo...

Exo 13: La réponse est oui. On distingue deux cas : -si $\|f'\|_{\infty}$ n'est pas atteint au point $0.$ On considère alors $\displaystyle \phi : x\mapsto \|f'\|_{{\infty},[0,x]}.$ Ensuite, on considère $\displaystyle g : x \mapsto \int_{0}^{x} \phi(t)dt.$ On a alors que $g$ est convexe comme la p...

Exo 79 On applique Ascoli à la suite de compacts $(I_{n}=[-n,n])_{ n\geq 0}.$ Sur $I_{n},$ la famille $f_{k}$ est bornée (par le caractère $1$ lipschitzien et par le fait que $(f_{k}(0))$ est bornée) et équicontinue. On construit par récurrence une sous-suite $\phi_{n+1}$ de $\phi_{n}$ qui vérifie ...

Exo 78 On utilise les polynômes de Bernstein... On a clairement sur $[0,1]$ $$\forall n\in \mathbb{N},\mbox{ } B_{n}(f)\geq B_{n}(g).$$ Mais par convergence uniforme des polynômes de Bernstein vers $f$ et $g$ respectivement , on construit aisément une suite de fonctions vérifiant les conclusions de...

Si tu ne vois pas comment "intuiter" une famille de contre-exemples valables et explicites.... Tu peux toujours essayer de prendre une fonction non nulle $f$ supportée dans $[0,1]$ et considérer pour $\lambda\ll 1$ : $x\mapsto f(\lambda x)$ et regarder ce qu'il se passe en supposant que ton applicat...

voire même $ $$f$ localement intégrable suffit...

Juste parce que j'ai oublié $ $$f$ continue, je vois....

C'était juste pour faire référence à l'exercice suivant (qui est aussi classique). Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $$\forall x,y \in [a,b],\mbox{ } f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ Montrer que $f$ est convexe. Pour résoudre alors l'exercice précédent, on peut appliquer c...

ça à l'air faux sans hypothèse de régularité sur $h$... Mais avec $h$ continue, je veux bien y croire ^^ Blague à part.... Sinon, les trucs à tester dans le cadre continu (si tu cherches des solutions continues), c'est de tester l'injectivité qui implique la monotonie, de calculer des valeurs en cer...