Si tu ne vois pas comment "intuiter" une famille de contre-exemples valables et explicites.... Tu peux toujours essayer de prendre une fonction non nulle $f$ supportée dans $[0,1]$ et considérer pour $\lambda\ll 1$ : $x\mapsto f(\lambda x)$ et regarder ce qu'il se passe en supposant que to...

voire même $ $$f$ localement intégrable suffit...

Juste parce que j'ai oublié $ $$f$ continue, je vois....

C'était juste pour faire référence à l'exercice suivant (qui est aussi classique). Soit $f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ vérifiant $$\forall x,y \in [a,b],\mbox{ } f(\frac{x+y}{2})\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ Montrer que $f$ est convexe. Pour résoudre alors l'exercice précédent, on peut appliquer c...

ça à l'air faux sans hypothèse de régularité sur $h$... Mais avec $h$ continue, je veux bien y croire ^^ Blague à part.... Sinon, les trucs à tester dans le cadre continu (si tu cherches des solutions continues), c'est de tester l'injectivité qui implique la monotonie, de calculer des valeurs en cer...

$ $Soit $x$ non nul appartenant à $E.$ Si $x$ et $u(x)$ était liés alors, $u$ aurait une valeur propre réelle. Hors, la relation sur $u$ indique que le spectre de $u$ est inclus dans $\{j,j^{2}\}.$