Et alors?
On n'a plus le droit d'utiliser le théorème de convergence dominée pour écraser des mouches!

Il n'y a pas de contre-exemple à ton problème mais je ne connais pas de preuve qui soit contenue dans le programme de classe prépa (j'ai utilisé certains résultats "classiques" de topologie pour uniformiser le problème). 1) Soit $C>0.$ On introduit pour $N\in \mathbb{N},$ l'ensemble $$A_{N...

Connais-tu la la "liste" des intervalles de $\mathbb{R}?$
Montre qu'une somme d'intervalles est un intervalle et conclus.

-Le lemme de l'échange (essentiellement une variation autour de : une famille de $(n+1)$ vecteurs dans un espace de dimension au plus $n$ forme une famille liée). -Borel-Lebesgue pour un segment dans $\mathbb{R}$ et son application au théorème de Heine. -Les sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$ ave...

Exercice 23 (j'ai copié-collé la discussion sur ce fil d'un autre forum) -Soit $\alpha\in]0,1[.$ Notons $\displaystyle Z_{\alpha}=\sum_{k\geq 0}\alpha^{k}X_{k}$ où les $(X_{k})$ sont une suite de Rademacher i.i.d. Ensuite, on note $\displaystyle F_{\alpha}$ la fonction de répartition de $Z_{\alpha}...

Tu as bien raison!
Le plus souvent la norme sous-jacente est $ $$\|.\|_{1},\|.\|_{\infty}$ ou $\|.\|_{2}$ (sans doute le choix le plus courant)

Utilise le fait suivant pour $a\wedge b=1$ : \begin{align*} (\mathbb{Z}/a\mathbb{Z})^{*}\times (\mathbb{Z}/b\mathbb{Z})^{*} & \longrightarrow (\mathbb{Z}/ab\mathbb{Z})^{*}\\ (k,j) & \longmapsto (kb+ja) \end{align*} est une bijection (et ainsi tu pourras réindicer proprement ta somme). Au pas...

Pour $n\geq 1,$ notons $\displaystyle S_{n}=\sum_{k\in\{0,\ldots,n-1\};k\wedge n=1}\omega_{n}^{k}$ où $\displaystyle w_{n}=\exp(\frac{2i\pi}{n}).$
En utilisant le lemme/théorème des restes chinois, il est alors accesible de montrer que $(S_{n})_{n\geq 1}$ est multiplicative.

Par la première question, tu as aussi l'identité (en appliquant la formule de Cauchy sur le demi-cercle inférieur et non supérieur cette fois-ci) : $\int_{-1}^{1}p(x)dx=-i\int_{0}^{-\pi}p(e^{it})e^{it}dt.$ En appliquant ces deux identités à $p$ changé en $p^{2}$, tu obtient l'identité recherchée en ...

@Oty20 : Bien joué! Et comme dit précédemment : @Errys a montré (son contre-exemple s'adapte facilement) que la condition sur $\alpha$ est optimale en terme de la croissance polynomiale de la suite $u$ (i.e. en fonction de $\beta$). Une remarque de forme cependant : Je trouve un peu plus lisible (ma...