Bien sûr je parle du pgcd polynomilale canonique , dans l'anneau principal $\mathbb Q[x] $, définit à une constante rationnelle multiplicative pré. Tu sembles ne pas savoir que l'anneau factoriel \mathbb Z[X] a des pgcd, définis à un inversible près de \mathbb Z[X] et donc en fait au signe près. L'...

M'enfin, Dattier-Contrexemple ? Tu ne vois pas qu'un polynôme à coefficients réels positifs ou nuls et coefficient constant strictement positif ne peut pas avoir de racine réelle positive ou nulle ? Moins évident : le nombre de racines strictement positives d'un polynôme à coefficients réels est maj...

Bonsoir,

Posons $ f=\dim(F) $, $ g=\dim(G) $, $ a=\dim(F+G) $, $ b=\dim(F\cap G) $. Monsieur Grassmann te dit que $ f+g=a+b $.
Tu peux supposer sans perte de généralité que $ f\leq g $.
N'as-tu pas d'autres inégalités entre $ a,b,f,g $ ?
Je te laisse y réfléchir, je ne t'en dis pas plus pour le moment.

C'est faux dans $ \mathbb Z[X] $. Revois tes définitions, Dattier.

Évidemment non, prendre $ P=Q=2 $. Mais sans doute la question est mal formulée.

Bonjour, Oui, trivialement : N=0 . Mais c'est vrai encore quand on corrige l'énoncé en demandant N\neq 0 . Si 1 est pgcd de P et Q dans \mathbb Z[X] , alors P et Q sont premiers entre eux dans \mathbb Q[X] et il existe donc U,V dans \mathbb Z[X] et N\in \mathbb N^* tels que UP+VQ=N .

Bonjour,

L'énoncé de la question 1) te souffle le polynôme caractéristique de la matrice $ A_n $ (j'ajoute l'indice $ n $ pour spécifier la taille). Tu peux démontrer, par exemple par récurrence sur $ n $, que le polynôme caractéristique de $ A_n $ est bien celui qui t'est soufflé.

Bonjour, Apparemment Dattier-Contrexemple a découvert la démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass qui utilise les polynômes de Bernstein. Il la rend illisible en essayant maladroitement de la faire tenir en sept lignes : https://dlz9.forumactif.com/t1154-stone-weierstrass-en-7-lignes...

Bof, il n'est pas question de théorème de Witt pour la classification des formes quadratiques sur un corps fini ! Et je n'ai en plus jamais dit qu'il s'agissait d'un morceau de cours de MPSI.

La classification des formes quadratiques sur un corps fini et la formule de Cauchy-Binet me semblent plus être des morceaux (assez classiques) de cours que des exercices.