Tu peux simplifier l'expression de l'exposant (il ne faut pas pousser!!!). Enfin, regarde sur les premiers exemples et conjecture, la récurrence se fera alors facilement.
En effet, il suffit de calculer le pgcd de $ $$P$ et $ $$P'$ pour conclure mais c'est souvent long et fastidieux...

-L'exposant est faux... Quelle est la valeur de $\sum_{k=0}^{n}2^{k}?$ et tu trouveras la bonne réponse ^^ -Pour l'exercice $2$ : effectue la division euclidienne de $P$ par $P'$ ... ou utilise un argument théorique : en étudiant $P$ sur $\mathbb{R}$, on a que $P$ a une unique racine réelle et donc ...

Il ne faut pas faire que des exos difficiles voire ouverts ? ^^ :p

Les exos de ce type sont rédigés par des extractions de sous-suite (on montre que les suites sont bornées et ont une seule valeur d'adhérence), car cette méthode est plus robuste qu'une astuce calculatoire, tout simplement...

Alors la réponse est facile si tous les éléments sont d'ordre une puissance de $p$!!!

L'exposant d'un groupe (fini) n'est-t-il pas défini comme étant (lorsque ce groupe est commutatif) le ppcm des ordres des éléments de groupe?

Pourtant, c'est assez naturel... Tu peux aussi remarquer que tous les éléments de $G[p]$ sont d'ordre une puissance de $p.$ Ainsi, si l'ordre de $G[p]$ (qui est sous groupe de $G$) n'était pas une puissance de $p$ alors par le lemme de Cauchy, on produirait un élément de $G[p]$ qui est d'un ordre un...

En fait, il y a un gap énorme entre faire des maths sous pression (en classes prépas) et faire des maths tout court! C'est difficile d'être polyvalent et de suivre le rythme, ce n'est pas que tu pêches intellectuellement... Parfois, il faut un peu plus de temps ou des structures différentes pour s'é...

Heureusement la 5/2 existe ^^
Blague à part, je pense qu'il faut être conscient que l'apprentissage des maths n'est pas instantané (sauf chez quelques personnes, mais c 'est rarissime!).
Essaie des exos plus simples pour commencer, et ensuite monte en difficulté...

Ca ne devrait pas être interdit de taper des sujets de maths en Word ....