94 résultats trouvés

par Mourien
13 mars 2021 19:24
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Pour la 1, c'est non.
SPOILER:
$ n=3 $ et $ P(x)=\dfrac 12 (x-1)(x-2) $
Je me penche sur la 2 !
par Mourien
08 mars 2021 21:27
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Sujet : Homeomorphisme entre suites réelles denses
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Re: Homeomorphisme entre suites réelles denses

C'est très malin cette définition en choisissant un antécédent pour la surjectivité ! :wink: Pour le prolongement, je n'ai pas très bien compris ta preuve : il me semble plus simple de poser pour $x\not\in A$, $f(x): = \underset{a\in A, a<x} {sup} f(a) < f(a')$, où par densité $a'>x$, puis de montre...
par Mourien
08 mars 2021 15:16
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Sujet : Homeomorphisme entre suites réelles denses
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Homeomorphisme entre suites réelles denses

Bonjour, je cherche l'exercice suivant : Soit $(a_n),(b_n)$ deux suites réelles denses et injectives. Trouver un homéomorphisme de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$ qui envoie $A=\{a_n\}$ sur $B=\{b_n\}$. Après pas mal de recherches, mon meilleur candidat est l'application définie par récurrence : f: a_0\...
par Mourien
06 mars 2021 22:07
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Merci pour cette preuve ! La compacité est un outil très élégant ici !

Il reste celui-là :
Calli a écrit :
06 mars 2021 11:31
Moi aussi je propose un exercice :
Expliciter (par une formule) une famille libre indénombrable du $\mathbb Q$ espace vectoriel $\mathbb R$
Une indication ?
par Mourien
06 mars 2021 19:39
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Traitons d'abord le cas utile de (u,v) \mathbb Q libre dans \mathbb R . Puisque \mathbb Z u +\mathbb Zv est un sous-groupe additif de \mathbb R il est dense ou bien de la forme \alpha \mathbb Z . Or dans le second cas, on a : u=n\alpha, v=m\alpha pour n,m\in \mathbb Z^* ( u\neq 0,v\neq 0 par liberté...
par Mourien
06 mars 2021 07:44
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Jolie preuve ! Sinon on pouvait aussi construire un idempotent e^2=e\in T par l'exo classique en regardant la suite (x^{2^n}) pour x\in T , et vérifier qu'il est neutre. Si on répète l'opération avec y\in T , par unicité du neutre, e sera une puissance de y , ainsi tout élément est inversible.
par Mourien
05 mars 2021 23:10
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Je propose ma preuve : très constructive, mais avec des outils du programme ! :mrgreen: On se place dans un espace normé E muni d'une base dénombrable de vecteurs unitaires (e_n) (par exemple l'espace des polynômes complexes). Ma preuve repose sur des partitions de \mathbb N en parties dénombrables ...
par Mourien
05 mars 2021 08:05
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Bonjour BobbyJoe, Je n'ai pas pu comprendre ta preuve en détail, mais il me semble que tu utilises le même genre d'argument que autobox : tu montres que Vect (T^n(Y_0))_{n\in \mathbb N} est dense en montrant que son orthogonal est réduit à \{0\} ? Or on veut trouver un vecteur dont l'orbite sous l'a...
par Mourien
04 mars 2021 21:43
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Pour moi le plus clair c'est de l'écrire matriciellement : Vu \mathbb C algébriquement clos, f est trigonalisable. Si on regarde dans une base de trigonalisation (e_1,...,e_n) les itérés de f évalués en x=\lambda_1 e_1+ \dots+\lambda_n e_n , on a : f^m(x)=?e_1+\dots+?e_{n-1}+\mu^m\lambda_n e_n , où ...
par Mourien
04 mars 2021 21:16
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Sujet : Exos sympas MP(*)
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Re: Exos sympas MP(*)

Versionpatch, la famille peut être libre et dense. Vu que l'espace est de dimension infinie, il y a de la place.
Pourrais-tu juste préciser pour le cas dimension finie mais je pense que c'est ça! 8)