94 résultats trouvés

par Mourien
25 nov. 2020 14:52
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Sujet : Pgcd polynômes caractéristiques
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Re: Pgcd polynômes caractéristiques

Bonjour JeanN, merci pour l'idée. On a du coup en posant X=PJ_rQ sans problème P^{-1}AP J_r=J_r QBQ^{-1} que l'on réécrit A'J_r=J_rB' . On a ainsi A et A' semblables et idem pour B et B'. Le polynôme caractéristique est un invariant de similitude donc \chi_A=\chi_{A'}, \chi_B=\chi_{B'} Ensuite on éc...
par Mourien
25 nov. 2020 13:39
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Sujet : Pgcd polynômes caractéristiques
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Re: Pgcd polynômes caractéristiques

Bonjour ! Merci pour ta preuve ! Je n'ai pas compris la fin... De ce que je comprends, tu écris la matrice B dans la base \bigoplus_{i=1} ^s Ker( A-\lambda_i) ^{\alpha_i} \bigoplus H Comment montres tu que dans le bloc associé à Ker( A-\lambda_i) ^{\alpha_i} la matrice est triangulaire supérieure av...
par Mourien
24 nov. 2020 23:48
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Sujet : Pgcd polynômes caractéristiques
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Pgcd polynômes caractéristiques

Bonsoir, j'essaie de montrer l'énoncé suivant : Soient A, B \in M_n(\mathbb K) telles qu'il existe X\in M_n(\mathbb K) de rang r , AX=XB . Montrer que le pgcd des polynômes caractéristiques de A et B est de degré au moins r J'ai remarqué que si Y\in\mathbb K^n est un vecteur propre de B associé à la...
par Mourien
20 nov. 2020 23:27
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Sujet : Union dénombrable de sec stricts
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Car chaque hyperplan contient au plus n-1 vecteurs distincts de cette famille (chaque x serait racine du polynôme non nul de degré n-1 associé à l'équation hyperplanaire) .

C'est trivialisateur en effet. Bravo !
par Mourien
19 nov. 2020 22:14
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Sujet : Union dénombrable de sec stricts
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Re: Union dénombrable de sec stricts

L'initialisation est triviale en dimension 0 ou 1 . On procéde par récurrence. En reprenant l'idée de se ramener à des hyperplans, j'avais montré que par indenombrabilité de \mathbb R^d , on peut se donner un hyperplan H different de chaque H_n . Il faut faire juste attention (ce que j'avais omis) à...
par Mourien
19 nov. 2020 13:16
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Sujet : Union dénombrable de sec stricts
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Cela se ramène au théorème de Baire alors. On note H_n les sous espaces vectoriels, fermés en dimensions finis, et U_n leurs complémentaires ouverts, denses car chaque sous espace vectoriel est strict. On se donne e\in E, r>0 Par densité, il existe x_0 \in U_0\cap B(e,r) . Or U_0 est ouvert donc il ...
par Mourien
19 nov. 2020 01:12
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Sujet : Union dénombrable de sec stricts
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Autre idée qui me vient : quitte à normér l'espace par transport de norme en dimension finie, on peut essayer de construire un suite de points de la sphère unité x_n \in \mathcal S telle que \forall n, x_n \not \in \bigcup_{k=0}^n H_k . Par compacité (on est en dimension finie), cela converge quitte...
par Mourien
19 nov. 2020 00:39
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Sujet : Union dénombrable de sec stricts
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Il s'agit abusivement de la notation matricielle en identifiant $ E $ à $ \mathbb R^d $.
par Mourien
19 nov. 2020 00:25
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Sujet : Union dénombrable de sec stricts
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Raisonne par l'absurde, choisis bien x et y (en adaptant le cas finis que tu connais déjà) et montre que chaque E_i ne peut accueillir qu'au plus un vecteur de la forme x+\lambda y . Ca devrait suffire pour conclure sauf erreur. J'avais pensé à prendre x\in F_0,x\not\in\bigcup_{n\in\mathbb N^*} F_n...
par Mourien
19 nov. 2020 00:20
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Sujet : Union dénombrable de sec stricts
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Re: Union dénombrable de sec stricts

Je viens de penser à une idée qui me semble prometteuse ; On sait que tout sous espace vectoriel strict est inclus dans un hyperplan (trivial en dimension finie). On se donne alors une suite d'hyperplans (H_n) _{n\in\mathbb N} tels que E=\bigcup_{n\in\mathbb N} H_n . On fixe une base de E de dimensi...