Jolie preuve ! Sinon on pouvait aussi construire un idempotent e^2=e\in T par l'exo classique en regardant la suite (x^{2^n}) pour x\in T , et vérifier qu'il est neutre. Si on répète l'opération avec y\in T , par unicité du neutre, e sera une puissance de y , ainsi tout élément est inversible.

Je propose ma preuve : très constructive, mais avec des outils du programme ! :mrgreen: On se place dans un espace normé E muni d'une base dénombrable de vecteurs unitaires (e_n) (par exemple l'espace des polynômes complexes). Ma preuve repose sur des partitions de \mathbb N en parties dénombrables ...

Bonjour BobbyJoe, Je n'ai pas pu comprendre ta preuve en détail, mais il me semble que tu utilises le même genre d'argument que autobox : tu montres que Vect (T^n(Y_0))_{n\in \mathbb N} est dense en montrant que son orthogonal est réduit à \{0\} ? Or on veut trouver un vecteur dont l'orbite sous l'a...

Pour moi le plus clair c'est de l'écrire matriciellement : Vu \mathbb C algébriquement clos, f est trigonalisable. Si on regarde dans une base de trigonalisation (e_1,...,e_n) les itérés de f évalués en x=\lambda_1 e_1+ \dots+\lambda_n e_n , on a : f^m(x)=?e_1+\dots+?e_{n-1}+\mu^m\lambda_n e_n , où ...

Versionpatch, la famille peut être libre et dense. Vu que l'espace est de dimension infinie, il y a de la place.
Pourrais-tu juste préciser pour le cas dimension finie mais je pense que c'est ça!

Je suis d'accord avec tout ce que tu as écrit ! Réciproquement, si F est d'orthogonal nul, son adhérence étant un fermé, on a E = \overline{F}\oplus\overline{F}^\perp = \overline{F}\oplus F^\perp = \overline{F}\oplus\{0\} = \overline{F} , d'où la densité. D'accord, très bien pour la réciproque ! cf:...

Bonjour autobox, merci de ta réponse ! E doit être cherché normé (topologique hors programme de prépa), l'application linéaire n'est pas cherchée continue. Si j'ai bien compris ta preuve, il y a quelques choses qui me chiffonnent: Comme chacun sait, la densité de l'ensemble des T^n(x) sera établie s...

Ma contribution à ce fil que j'apprécie énormément. Deux exos très sympas : Exo 1 Soit (D,\cdot) un demi-groupe (magma associatif) fini. On pose T=\underset{a,b\in D}{\displaystyle\bigcap}aDb . Montrer que T est vide ou, muni de \cdot , est un groupe. T peut-il être vide? [edit: j'ai écrit S au lieu...

Bonjour Inversion,
je vais regarder ce théorème de cartan !

Pour montrer "annulateur scindé" $ \Rightarrow $ "trigonalisable", j'avais en tête la trigonalisation fine à l'aide du lemme des noyaux, mais il y a aussi une preuve par récurrence sur la dimension !

En me relisant il me semble avoir utilisé la propriété non triviale suivante :

Si $ u $ trigonalisable, alors $ u_F $ trigonalisable ($ F $ stable par $ u $)

C'est une histoire de polynôme annulateur scindé et de lemme des noyaux ça.