TIPE-Système bielle-manivelle

Une petite question sur votre TIPE...

Messages : 0

Inscription : 14 mars 2021 16:29

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

TIPE-Système bielle-manivelle

Message par Hugo-59 » 14 mars 2021 17:02

Bonjour, dans le cadre de mon TIPE je réalise une expérience avec un amortisseur à la place du piston sur un système bielle-manivelle.

Cependant je rencontre quelques difficultés à déterminer la loi entrée-sortie du mécanisme, car la manivelle étant actionné par un moteur j’obtiens avec le théorème de l’énergie cinétique:
(dx/dt)*(d^2 x/dt^2 )*m=Cm*wm-k(x-l0 )*(dx/dt)-β*(dx/dt)^2

Comment faire pour simplifier cette expression ?
Merci d'avance.
Hugo.

Messages : 778

Inscription : 01 juin 2020 16:26

Profil de l'utilisateur : Parent

Re: TIPE-Système bielle-manivelle

Message par H2Fooko » 14 mars 2021 19:14

Bonjour Hugo-59,
Bon j'essaye d'imaginer la manip dans un premier temps
Image
4D piston motion animation with 2 various half strokes, created by contributor, made with software TRUE (Temporal Reasoning Universal Elaboration) voir
https://commons.wikimedia.org/wiki/File ... n2_ANI.gif

Donc, tu as remplacé le piston (il y en a 2 sur l'animation) par un ressort ?
Sinon il va falloir nous éclairer un peu plus sur les notations utilisées même si on a une idée, il faudrait un peu nous mâcher le travail.
Notamment en utilisant l'écriture Latex (je m'y suis mis c'est facile).
$ \frac{dx}{dt}.\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.m=C_{m}.\omega_{m}-k.(x-l_{0}).\frac{dx}{dt}-\beta.(\frac{dx}{dt})^{2} $

Ecrit comme ci-dessus, est-ce bien ton équation ?
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63)EC Lille) и Дух мира :flag_ua: (& esprit de 🕊)

Messages : 0

Inscription : 14 mars 2021 16:29

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: TIPE-Système bielle-manivelle

Message par Hugo-59 » 14 mars 2021 21:48

Merci beaucoup pour votre réponse,
C'est exact j'ai donc remplacé le piston par un amortisseur.

Donc premièrement j'ai isolé le système Bielle+Manivelle+Tige de l'amortisseur. J'ai négligé les inerties de la Bielle et de la Manivelle, et je note "m" la masse de la tige de l'amortisseur.

J'applique le théorème de l'énergie cinétique, et j'obtiens donc la partie gauche de l'équation en calculant la dérivée de l'énergie cinétique du système.

Ensuite, je néglige les puissances intérieures en considérant les liaisons parfaites, puis je calcule les puissance liée à la force de rappel du ressort (je note "k" la raideur du ressort, "l0" la longueur à vide), à la force d'amortissement ("beta" le coefficient de frottement). "Cm" et "wm" correspondent respectivement au couple du moteur et à la vitesse de rotation du moteur.

Le problème c'est que je cherche à simplifié cette expression, en trouvant une relation entre wm et dx/dt. Mais j'ai peur que si j'exploite la relation cinématique (https://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A ... -manivelle : dans "cinématique" puis "vitesse", cette relation ne prenne pas en compte les effets liés à la présence de l'amortisseur.

Bonne soirée,
Hugo.

Messages : 1162

Inscription : 01 juin 2012 22:03

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: TIPE-Système bielle-manivelle

Message par Cortez » 15 mars 2021 06:46

La loi entrée/sortie géométrique n'est pas modifiée par la présence de l'amortisseur. Sa dérivée donnant le lien entre vitesse de la manivelle et vitesse du piston (ou tige de ton amortisseur) non plus.

Messages : 778

Inscription : 01 juin 2020 16:26

Profil de l'utilisateur : Parent

Re: TIPE-Système bielle-manivelle

Message par H2Fooko » 15 mars 2021 08:28

+1
On y trouve même le calcul de la dérivée 😎 un peu plus loin, je ne suis pas sûr que ça arrange beaucoup son équation ❓
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63)EC Lille) и Дух мира :flag_ua: (& esprit de 🕊)

Messages : 778

Inscription : 01 juin 2020 16:26

Profil de l'utilisateur : Parent

Re: TIPE-Système bielle-manivelle

Message par H2Fooko » 16 mars 2021 17:43

Dans le wiki sur le système bielle-manivelle, et en prenant les notations de ce dessin:
Image
on a, comme indiqué par Cortez une relation purement géométrique:
$ x=D-R.sin\theta-\sqrt{L^{2}-R^{2}cos^{2}\theta} $
si tu la dérives, en posant $ \lambda=\frac{L}{R} $ on obtient:
$ \frac{dx}{dt}=-R. cos\theta.\left(1+\frac{sin\theta}{\sqrt{\lambda^{2}-cos^{2}\theta}} \right).\frac{d\theta}{dt} $
C'est ce que tu trouves plus loin dans ce même wiki.
Je ne vois pas quoi en faire pour l'instant dans ton équation... :arrow:

Maintenant, je vais tenter un truc pas très rigoureux en pensant bilan des puissances instantanées entrant et sortant du système global:

(*) $ C_m(\theta).\frac{d\theta}{dt}=F(x).\frac{dx}{dt} $
soit en remplaçant par la dérivée que l'on vient de calculer:

(**) $ C_m(\theta)=-F(x).R. cos\theta.\left(1+\frac{sin\theta}{\sqrt{\lambda^{2}-cos^{2}\theta}} \right) $

SI $ C_m(\theta) $ ou $ F(x) $ est constant tu as la relation recherchée qui lie la force au couple du moteur d'entrée en fonction de $ \theta $. Ou bien le couple en sortie si en l'absence de moteur du détends l'amortisseur à Force constante !

Une approximation de (**) correspondant à une détente de l'amortisseur, avec un $ F(x) $ uniquement égal à la force de rappel du ressort car instantanément la force de frottement est approximativement proche de 0 car dv est proche de 0. (ouais je pense que c'est là que je vais me faire tirer dessus mais au moins j'aurais essayé 🙄 et suscité des réponses plus exactes)

$ C_m(\theta)=-k.(L_{0}-D+R.(sin\theta+\sqrt{\lambda^{2}-cos^{2}\theta})).R. cos\theta.\left(1+\frac{sin\theta}{\sqrt{\lambda^{2}-cos^{2}\theta}} \right) $

:arrow: ... Retour à ton équation:
Le terme de gauche de (*) qui apparaît dans ton équation devrait pourvoir être remplacé par le terme de droite et après simplifications:
$ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}.m=F(x)-k.(x-L_{0})-\beta.\frac{dx}{dt} $
et après approximations sur $ F(x) $ ci-dessus donne:
$ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}.m=-\beta.\frac{dx}{dt} $
Après double intégration on a:
$ x(t)=x_{0}-\frac{V_{0}.m}{\beta}.e^{-\frac{\beta}{m}.t} $
avec $ x_{0} $ et $ V_{0} $ 2 constantes à déterminer suivant des conditions initiales.
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63)EC Lille) и Дух мира :flag_ua: (& esprit de 🕊)

Messages : 0

Inscription : 14 mars 2021 16:29

Profil de l'utilisateur : Élève de lycée

Re: TIPE-Système bielle-manivelle

Message par Hugo-59 » 16 mars 2021 22:23

Merci pour vos réponse, j'ai essayé de tenter quelque chose sans le bilan des puissances mais uniquement avec l'équation précédente et les relations géométriques de Wikipédia.

J'ai donc utilisé la formule :
$ \frac{dx}{dt} $=-R*$ \frac{d\theta}{dt} $*cos(θ)*$ (1+\frac{R*sin(θ)}{L*\sqrt{1-\frac{R²}{L²}cos²(θ)}} $)

J'ai négligé le deuxième terme car le rapport R/L est très faible, et donc j'obtiens :
$ \frac{dx}{dt} $=-R*$ \frac{d\theta}{dt} $*cos(θ)$ (**)

Et donc si je réinjecte (**) dans l'équation de départ, j'obtiens :
m*$ \frac{dx²}{dt²} $=Cm*$ \frac{\frac{d\theta}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $-k*(x-l0)-β*$ \frac{dx}{dt} $

Soit,
m*$ \frac{dx²}{dt²} $=-$ \frac{Cm}{R*cos(θ)} $-k*(x-l0)-β*$ \frac{dx}{dt} $

Donc, au final l'équation différentielle régissant le système semble être :
m*$ \frac{dx²}{dt²} $+k*(x-l0)+β*$ \frac{dx}{dt} $=-$ \frac{Cm}{R*cos(θ)} $

Cependant la présence du cos(θ) au dénominateur me perturbe le système étant soumis à une perturbation sinusoïdale je m'attendais à l'avoir au numérateur. $

Messages : 778

Inscription : 01 juin 2020 16:26

Profil de l'utilisateur : Parent

Re: TIPE-Système bielle-manivelle

Message par H2Fooko » 17 mars 2021 06:13

Bonjour Hugo-59,
Au réveil comme ça je dis bien 😉
Ce qui est chagrinant c'est que ta dernière équation diff mélange du $ x $ et du $ \theta $ qui sont liés.

Bon la nuit portant conseil, je me suis dit que ton sujet ressemble un peu au groom en haut des portes. Sauf que tu dois avoir un clapet qui annule la force de frottement visqueux dans un sens et la rétablit dans l'autre sens.
отец (un autre père ENSICAENnais) сынок (& fils PCSI▸PC▸PC* 2020-23 à B.Pascal (63)EC Lille) и Дух мира :flag_ua: (& esprit de 🕊)

Répondre