Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Une petite question sur votre TIPE...

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Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par Koelite » 12 mai 2021 15:50

Bonjour.

La fin des TIPE approche et je rencontre un souci de taille. En effet, mes résultats sont en totale contradiction avec la réalité. Ma modélisation n'est pas physique, elle est un peu empirique.
Alors, je travaille sur la propagation d'un feu de forêt. Mais je n'analyse aucune donnée satellites, bien que j'avais pensé à comparer avec des données déjà existantes de modèles (notamment le GFED4). Mon travail a été bien différent : j'ai utilisé le principe de la percolation qui se base sur les automates cellulaires. Ainsi, la modélisation est la suivante : au début, une cellule est en feu (foyer) et elle transmet une probabilité p de brûler une cellule voisine parmi les 4 qui sont à côté (c'est un modèle 4 directions). Ainsi la probabilité de transmettre le feu est de 4p. Evidemment p varie de 0 à 1 et on s'aperçoit qu'il y a un seuil où tout bascule : en dessous de ce seuil, le feu se propage trèèès peu, au-delà il se propage beaucoup et brûle quasiment la totalité du terrain.
Ensuite, j'ai amélioré le modèle en implémentant le vent. Il s'agissait au début d'une probabilité liée au vent qui était additionnée/soustraite selon la direction du vent. Après avoir ajouté un angle lié au sens du vent, je projetais les expressions avec du cos et du sin. Mais bon, une probabilité pour le vent et additionner des probabilités dans ce contexte, ce n'est pas trop souhaitable, d'autant plus que, en notant p la probabilité de base et w l'influence du vent, il fallait vérifier que $ p+w \leq 1 $ et $ p-w \geq 0 $.
J'ai parlé de ça avec mon professeur de physique, qui m'a aidé et a trouvé des expressions similaires à une réponse du 1er ordre pour ne plus avoir à limiter ce w. Les expressions sont les suivantes :
$ p^+ : (p, w) \mapsto 1+(p-1) e^{-w} $
$ p^- :(p, w) \mapsto pe^{-w} $
$ p^+ $ est la probabilité que reçoivent les cellules touchées davantage à cause du vent (celles qui sont en direction du vent) et $ p^- $ les cellules moins touchées.
Voici un tout petit schéma rapide pour expliquer $ p^+ $ et $ p^- $.
Image
Cela semblait satisfaisant, jusqu'au moment où je trace la surface brûlée en fonction de v : je m'aperçois que plus le vent est fort (quelque soit p supérieur à 0.5), plus la surface brûlée est petite. De plus, plus le vent est fort, plus la propagation est lente. C'est contradictoire puisque les différents documents que j'ai lu disent que le vent augmente la surface brûlée. De même, on pourrait penser que le vent attise davantage les flammes avec un apport en dioxygène et donc que la propagation est plus rapide.
En dérivant les expressions, on voit bien le problème.
Image
On voit que la croissance en w de $ p^+ $ est bien plus faible que la décroissance en w de $ p^- $. Cela signifie que plus le vent est fort, plus $ p^+ $ est élevé, ce qui est bien, mais plus $ p^- $ est faible et largement plus que $ p^+ $ n'est élevé.
En fait, en notant $ p_{tot} = p^+ + p^- $, on a $ \frac {\partial p_{tot}}{\partial w}(p, w) = w(1-2p)e^{-w} $. Donc $ p_{tot} $ croît en w lorsque $ p \leq 1/2 $ et décroît au-delà, ce qui est tout le problème, surtout que je m'intéresse particulièrement à $ p \geq 1/2 $.
Je cherchais donc à modifier les formules pour obtenir des dérivées égales en valeur absolue ou bien la croissance de $ p+ $ supérieure à la décroissance de $ p^- $ mais pas l'inverse. En fait il faut $ \frac{\partial p_{tot}}{\partial w} \geq 0 $. Il faut évidemment respecter plusieurs critères : $ p^- $ et $ p^+ $ doivent être compris entre 0 et 1 ; quand p augmente, $ p^+ $ et $ p^- $ augmentent ; quand w augmente, $ p^+ $ augmente et $ p^- $ diminue ; lorsque $ w = 0 $ on doit retrouver $ p^+ = p^- = p $.

Voilà, j'espère ne pas vous avoir perdu, si vous êtes intéressés et que vous voulez m'aider, n'hésitez pas à demander des précisions, mais globalement j'espère trouver de l'aide pour modifier les expressions et avoir quelque chose de convenable.
Je vous remercie.

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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par U46406 » 12 mai 2021 16:49

(Bizarre de choisir un modèle à voisinage 4 quand il existe du vent de sud-est)

Je ne suis pas compétent sur tes équations différentielles.

(Indépendamment de ça, le modèle à voisin est plus simple que la réalité. Un souci pour les pompiers c’est le vent qui fait sauter les flammes au dessus d’une coupe pare-feu.)
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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par Hibiscus » 12 mai 2021 18:01

Pour moi, il manque des conditions de "normalisation", dans tes équations.
(c'est ce qui pourrait expliquer tes grands écarts).
C'est normal que p- soit très faible, le feu ne va pas contre le vent.
Ce qui est important, c'est pas que p+ soit "élevé" (i.e, p+>>0), c'est p+>>p.
Il faut que plus le vent soit fort, plus le feu se déplace dans ce seul sens.
Or, tu prends des p un peu aléatoirement. En particulier, si tu prends p=0.5, bah ça ne peut pas avoir de sens, p doit être une fonction de w.
En gros, ta meilleure matrice, c'est 50% d'allumer en haut, 50% d'allumer en bas, 99.9 d'allumer devant et 0.1% d'allumer dans le dos du vent. Ca peut difficilement convenir lorsque tu essayes de raisonner sur des vents "infiniment" forts, comme limite.


Ce que j'appelle normalisation serait un truc dans ce genre-là.

$ \displaystyle p^- = p_0\exp -\frac{w}{k_{paral}}$
$ \displaystyle p^+ = 1-(p_0-1)\exp -\frac{w}{k_{paral}} $
$\displaystyle p = p_0 \exp -\frac{w}{k_{perp}} $

Il faut que plus le vent soit fort, plus on aille dans sa direction.
Donc rien en -, tout en +, et pas grand chose sur les côtés. Mais il faut pas que ce soit constant sur les côtés, sinon le vent n'a aucun sens.
Ta condition 4p était très bien.
C'est la même ici, avec 4p_0 (à peu de choses près).
Il faut que $ p^++p^-+2p $ soit constante, sinon rien ne peut avoir de sens.
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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par Koelite » 12 mai 2021 19:18

Bonsoir, merci à vous deux pour votre réponse.
Hibiscus, j'ai compris ce que vous avancez, mais pas encore tout. J'ai plusieurs questions.
- Que signifie $ k_{paral} $ et $ k_{perp} $ ? Comment les déterminer ?
- Faut-il donc $ p^+ + p^- + 2p = p_0 $ ?
- En fait, le vent a-t-il vraiment l'effet que vous décrivez ? Est-ce que la propagation n'est pas plutôt la suivante : un feu faible et un vent fort fait une propagation faible ; un feu faible et un vent faible augmente la propagation ; un feu fort et un vent faible augmente très légèrement la propagation ; un feu fort et un vent relativement fort augmente fortement la propagation. Voici un schéma pour voir où je veux en venir.
https://zupimages.net/up/21/19/8p1z.jpg

Merci à vous.

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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par H2Fooko » 12 mai 2021 21:16

intéressant,
Pour rendre la simulation plus 'réaliste' as tu lu les notions de 'triangle du feu qui consiste en oxygène, carburant et chaleur'. Si l'un vient à manquer le feu s'éteint.
On pourrait imaginer sur chaque 'cellule' :
  • un combustible qui diminue et qui permet de mettre fin à la simulation (quelque part)
  • de l'oxygène (comburant) qui croît avec le vent
  • une chaleur dépendant des 2 autres qui pourrait aussi être perturbée par la pluie
Il y aurait une sorte de 'compétition' entre ces 3 côtés du triangle dans chaque cellule ?

Désolé si je bouscule l'existant et sors un peu du sujet 😋
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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par Hibiscus » 12 mai 2021 21:51

J'ai juste mis ca pour dire qu'il y avait un coefficient different symbolisant l'impact du vent dans sa direction (pour les + et -) et dans l'autre.
Comment les determiner, a toi de mettre des valeurs qui conviennent selon le realisme des cas, ca n'est qu'une modelisation.
Non, la somme sera pas egale a p0 mais c'est juste pour dire que si tu prends toutes les valeurs un peu au pif, a un moment, tu n'as pas de normalisation de tes parametres.
Donc c'est normal de trouver des effets contradictoires, puisque tu ne les contraints pas assez.
Non, le vent n'a pas cet effet stricto sensu en vrai, mais tu n'as pas de parametrisation de la puissance du feu, donc ca sera a rajouter dans un second temps. C'etait une illustration, pas une solution.
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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par H2Fooko » 12 mai 2021 23:07

Dans la littérature on trouve un automate cellulaire faisant intervenir des bilans locaux 'de masse et d'énergie'. Le paragraphe "5.3 Automate cellulaire" page 153 (=187 dans le lecteur pdf) de cette thèse (de Jonathan Margerit) est probablement trop complexe ici mais peut donner quelques idées pour se raccrocher à quelques aspects physiques (vent, pente et température de flamme).
ici combustible = densité d'occupation du sol
Il est aussi évoqué la "5.4.8 Densité de percolation"
Bref j'imagine que tu as cette thèse dans ta bibliographie ?
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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par H2Fooko » 19 mai 2021 17:22

Bonjour Koelite
Je me rend compte qu'il est probablement un peu tard pour bouleverser sensiblement ton TIPE.

Alors avec Geogebra j'ai joué avec la probabilité p grâce au curseur en haut à droite sur le lien et voir ainsi son influence en remarquant que $ p^+ = p^- + K_{w} $ avec $ K_{w}=1-e^{-w} $ constante à vent constant indépendante de p, selon tes toutes premières équations.

Mis sous cette forme on voit que $ p^- $ et $ K_{w} $ n'évoluent pas avec la même 'vitesse' (ce que tu as montré avec les calculs de dérivées) et permet à $ p^+ $ d'être plus grand que 1:
$$ \overbrace{p^+}^{\in \left[ 0, 1 \right]} = \overbrace{\underbrace{p^-}_{^{1}\searrow _{0}} + \underbrace{K_{w}}_{_{0}\nearrow^{1}}}^{\in \left[ 0, 1 \right]} $$
Effectivement une probabilité p>0,5 entraine une somme $ p^+ + p^- >1 $ (ce qui n'est pas Top) selon l'axe du vent, sans parler de l'axe perpendiculaire au vent.

Alors pour 'normaliser' ça, j'ai nommé les probabilités selon la rose des vents, et en l'absence de vent je pense qu'il y a équiprobabilité que le feu aille dans une direction ou une autre:
$$ \normalsize\begin{array}{ c:c:c }
\textsf{} & p_{N}
& \textsf{} \\
\hdashline
p_{E}
& \textsf{} & p_{O}
\\
\hdashline
\textsf{} & p_{S}
& \textsf{} \\
\end{array}
$$

avec $ p_{N}=p_{S}=p_{E}=p_{O}=p^{*}=\frac{1}{4}
$

Ensuite pour déstabiliser les probabilités en fonction de la force du vent $ w $ et sa direction $ \theta $, j'ai utilisé $ K_{w} $ ainsi:
SPOILER:
$$ \Large\left\{ \begin{array}{c}
p_{O}=p^{*}+p^{*}.K_{w}.cos\space\theta\\
p_{E}=p^{*}-p^{*}.K_{w}.cos\space\theta\\
p_{N}=p^{*}+p^{*}.K_{w}.sin\space\theta\\
p_{S}=p^{*}-p^{*}.K_{w}.sin\space\theta
\end{array} \right. $$
avec $ 0\leqslant \theta<2.\pi $, et $ \theta=0 $ pour une direction du vent d'Est en Ouest.

Est-ce que ça te semble plus 'physique' ?
Après j'ai quelques idées pour utiliser le 'triangle du feu', mais bon je ne vais tout te dire d'un coup !
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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par Hibiscus » 19 mai 2021 17:57

H2Fooko a écrit :
19 mai 2021 17:22
$ p_{N}=p_{S}=p_{E}=p_{O}=p^{*}=\frac{1}{4}
$
J'avais plutôt l'impression que le plus rigolo est justement, dans la ligne de ce qu'il avait fait, de ne pas écrire cette ligne pourtant instinctive, et de laisser le feu se propager "vers plusieurs cases en même temps"
C'est sans doute pour ça qu'il avait écrit (au tout départ)
Ainsi la probabilité de transmettre le feu est de 4p. Evidemment p varie de 0 à 1
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Re: Influence du vent sur la propagation d'un feu de forêt

Message par H2Fooko » 19 mai 2021 20:28

+1
C'est vrai qu'il y a de quoi s'amuser et pourquoi pas augmenter le $ p^{*} $, après il ne faut pas s'étonner que ça s'emballe 😋 ... ou pas !

C'est un peu l'idée pour la suite, jusqu'à présent on a modélisé toutes les cellules de la même façon, maintenant pourquoi pas modéliser $ p^{*} $ en fonction du lieu (chaque cellule son $ p^{*} $) pour tenir compte du combustible, du comburant, de la pente (relief) etc ...
Koelite a écrit :
12 mai 2021 15:50
.../... je m'aperçois que plus le vent est fort (quelque soit p supérieur à 0.5), plus la surface brûlée est petite. De plus, plus le vent est fort, plus la propagation est lente. C'est contradictoire puisque les différents documents que j'ai lu disent que le vent augmente la surface brûlée.
Je ne suis pas sûr que cela soit si contradictoire, en effet on éteint bien une bougie en soufflant, ou un puits de pétrole en utilisant le souffle d'une explosion 💥

PS: en introduisant les fonctions trigo dans la modélisation on s'interdit une propagation perpendiculaire à la direction du vent dès que le vent se lève ($ w\neq 0 $) qu'on pourrait palier en introduisant du bruit sur la direction du vent ?
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