Théorème des valeurs intermédiaires

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Re: Théorème des valeurs intermédiaires

Message par autobox » 21 nov. 2020 16:53

Yosh2 a écrit :
21 nov. 2020 16:46
Bonjour autobox
Pour a =0 toute valeur de c dans [0,1] est convenable
Pour a=1 , c=0 marche ,
Et pour le cas restant mon raisonnement précédent le traite correctement c’est ça ?
En fait plus généralement si f(a) = 0, c=0 convient, et si f(1-a) = 0, f(a+1-a) = f(1) = 0 = f(1-a) donne c=1-a comme valeur convenable.
Cela traite les cas 0 et 1 en particulier.
Ensuite, tu peux supposer dans la suite que f(a)f(1-a)>0, et appliquer le TVI à un intervalle non réduit à un point comme tu l'as fait et tu auras un vrai changement de signe, et un c dans ]0,1-a[

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Re: Théorème des valeurs intermédiaires

Message par Yosh2 » 21 nov. 2020 16:58

JeanN a écrit :
21 nov. 2020 16:25
Yosh2 a écrit :
21 nov. 2020 15:16
Oups j’ai confondu ensemble de départ et ensemble d’arrivée, je dirais que g est définie sur [0,1] en particulier sur [0,1-a]
Pour t'entrainer sur un exo similaire :
Soit f continue sur [0,1] à valeurs dans R telle que f(0)=f(1).
Montrer qu'il existe $ c $ tel que f(c+1/2)=f(c).
Posons g(x)=f(x+1/2)-f(x) définie sur [0,1/2]
Ona g(0)g(1/2)=(f(1/2)-f(0))*(f(1)-f(1/2))
= f(1/2)-f(0))*(f(0)-f(1/2))
=-(f(1/2)-f(0))^2 <=0
Et d’après TVI on obtient l’existence de c

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Re: Théorème des valeurs intermédiaires

Message par Luckyos » 21 nov. 2020 17:14

autobox a écrit :
21 nov. 2020 16:53
Yosh2 a écrit :
21 nov. 2020 16:46
Bonjour autobox
Pour a =0 toute valeur de c dans [0,1] est convenable
Pour a=1 , c=0 marche ,
Et pour le cas restant mon raisonnement précédent le traite correctement c’est ça ?
En fait plus généralement si f(a) = 0, c=0 convient, et si f(1-a) = 0, f(a+1-a) = f(1) = 0 = f(1-a) donne c=1-a comme valeur convenable.
Cela traite les cas 0 et 1 en particulier.
Ensuite, tu peux supposer dans la suite que f(a)f(1-a)>0, et appliquer le TVI à un intervalle non réduit à un point comme tu l'as fait et tu auras un vrai changement de signe, et un c dans ]0,1-a[
Je ne comprends pas pourquoi tu tiens tant à ces cas particuliers.
Le théorème des valeurs intermédiaires peut très bien s'énoncer sur un intervalle quelconque (réduit à un point ou non) et avec des inégalités larges (ex : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle).
X2018

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Re: Théorème des valeurs intermédiaires

Message par autobox » 21 nov. 2020 18:46

J'y tiens pas particulièrement, mais ça peut être intéressant de savoir que si f(a)f(1-a)>0, il y a un c non nul qui convient et que par ailleurs on peut diviser sans problème par 1-a-c

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Re: Théorème des valeurs intermédiaires

Message par JeanN » 21 nov. 2020 19:22

Yosh2 a écrit :
21 nov. 2020 16:58
JeanN a écrit :
21 nov. 2020 16:25
Yosh2 a écrit :
21 nov. 2020 15:16
Oups j’ai confondu ensemble de départ et ensemble d’arrivée, je dirais que g est définie sur [0,1] en particulier sur [0,1-a]
Pour t'entrainer sur un exo similaire :
Soit f continue sur [0,1] à valeurs dans R telle que f(0)=f(1).
Montrer qu'il existe $ c $ tel que f(c+1/2)=f(c).
Posons g(x)=f(x+1/2)-f(x) définie sur [0,1/2]
Ona g(0)g(1/2)=(f(1/2)-f(0))*(f(1)-f(1/2))
= f(1/2)-f(0))*(f(0)-f(1/2))
=-(f(1/2)-f(0))^2 <=0
Et d’après TVI on obtient l’existence de c
C'est pas mal mais n'oublie pas de signaler que g est aussi continue en plus d'être bien définie.
Professeur de maths MPSI Lycée Sainte-Geneviève

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