Matrices commutantes avec On(R)

[Alfonse45]

Bonjour, je suis actuellement en train de chercher cette exercice : Trouver l'ensemble des matrices de M3(R) qui commutent avec toutes les matrices orthogonales.

J'en arrive au même point qu'un corrigé trouvé sur internet : Comme on est en dimension 3, toute matrice de M3(R) admet une valeur propre λ réelle (le polynôme caractéristique a une racine réelle) associée au vecteur propre X. Si on prend M telle que, pour tout O orthogonal, MO=OM, alors pour tout O orthogonal, OX est vecteur propre associé à λ

Cependant, il faut montrer que {OX|O orthogonal} est l'ensemble R3 mais je n'arrive pas à le montrer. Si quelqu'un pouvez me débloquer

[JeanN]

1) Tu vas avoir du mal à montrer que la sphère de rayon norme(X) est R^3 tout entier.
2) Pour montrer le résultat souhaité, avec $n$ quelconque, essaye de décomposer n'importe quelle matrice élémentaire $ E_{i,j} $ comme demi-somme de deux matrices orthogonales.
Commence par E_{1,1} puis E_{1,2} en guise d'échauffement.

[Hulst]

Cependant, il faut montrer que {OX|O orthogonal} est l'ensemble R3 mais je n'arrive pas à le montrer. Si quelqu'un pouvez me débloquer

Comme le précise JeanN, c'est effectivement incorrect !

Je propose la démarche suivante:
1) Montrer que {OX|O orthogonal} = { Z dans M_{3,1}(\R) | ||Z|| = ||X|| }
2) En déduire que le sous-espace propre de M associé à la valeur propre lambda est égale à M_{3,1}(\R).
3) Montrer alors que M est une matrice scalaire.

[prepamath]

Une autre façon ( un peu moins dans l'esprit de ton début de réflexion ) :

1) $ O_n(\mathbb{R}) $ contient les symétries orthogonales
2) Montre que si un élément commute avec une symétrie $ S $, il laisse stable $ \rm Ker(S-Id) $
3) en déduire que si $ A $ commute avec $ O_n(\mathbb{R}) $, $ \forall x \in \mathbb{R}^n, Ax \in \rm Vect(x) $
4) En déduire que $ A $ est scalaire.

[Alfonse45]

Cependant, il faut montrer que {OX|O orthogonal} est l'ensemble R3 mais je n'arrive pas à le montrer. Si quelqu'un pouvez me débloquer

Comme le précise JeanN, c'est effectivement incorrect !

1) Montre que {OX|O orthogonal} = { Z dans M_{3,1}(\R) | ||Z|| = ||X|| }
2) Déduisons-en que le sous-espace propre de M associé à la valeur propre lambda est égale à M_{3,1}(\R).
3) Montre alors que M est une matrice scalaire.

Pour montrer l'égalité des deux ensembles, est-il possible de passer par l'application qui à O une matrice orthogonale associe OX, avec X vecteur propre ? Et de montrer que c'est bijectif ? ( O3(R) n'étant pas un espace vectoriel je peux pas utiliser le noyau pour le montrer )

[JeanN]

Je n'ai pas trop compris ce que tu suggères.
Si c'est l'inclusion réciproque qui te pose problème, va faire un tour sur la propriété qui dit qu'on peut construire une fonction linéaire en choisissant les images des vecteurs d'une base.
Ensuite, en supposant x non nul et z de même norme (non nulle) que x, commence par construire deux bon qui commencent respectivement par x/norme(x) et z/norme(z).