Dérivées successives de exp(-1/x^2)

[hello78]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
On pose $ f(x)=\exp(-1/x^2) $ prolongée en 0 par $ f(0)=0 $.
Montrer qu'il existe $ \eta>0 $ tel que pour tout n :

$ \sup_{|x|\le \eta}|f^{(n)}(x)|\ge (n!)^{3/2} $.

Je sais que les dérivées successives sont de la forme $ f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\exp(-1/x^2) $ où les polynômes $ P_n $ vérifient la relation de récurrence :
$ P_{n+1}=X^3 P'_n+(2-3nX^2)P_n $
mais je ne vois pas comment m'en servir, ni même si ça peut être utile.

Si quelqu'un a une piste... Merci

[JeanN]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant :
On pose $ f(x)=\exp(-1/x^2) $ prolongée en 0 par $ f(0)=0 $.
Montrer qu'il existe $ \eta>0 $ tel que pour tout n :

$ \sup_{|x|\le \eta}|f^{(n)}(x)|\ge (n!)^{3/2} $.

Je sais que les dérivées successives sont de la forme $ f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}\exp(-1/x^2) $ où les polynômes $ P_n $ vérifient la relation de récurrence :
$ P_{n+1}=X^3 P'_n+(2-3nX^2)P_n $
mais je ne vois pas comment m'en servir, ni même si ça peut être utile.

Si quelqu'un a une piste... Merci

Il vient d'où ton exo ?

[V@J]

En tout cas, c'est faux pour n = 0 et n=1...

[JeanN]

Ca a l'air vrai tout de même pour n assez grand, de se passer autour de $$f^{(n)}(cste/\sqrt n)$$ ou un truc du genre mais je n'ai rien de beaucoup plus convainquant à proposer

[V@J]

Bonsoir,

Ce problème semble sacrément dur. Voici une approche qui m'a permis d'obtenir une estimation insuffisante pour toi, mais que je trouve tout de même chouette, et qui légitime le fait de regarder ce qui se passe lorsque $ x $ est de l'ordre de $ n^{-1/2} $

1. Puisque $ f^{(n)}(x) $ s'écrit sous la forme $ P_n(x)/x^{3n} \exp(-1/x^2) $, on constate que $ f^{(n)}(x) \to 0 $ lorsque $ x \to 0 $, et ce quel que soit l'entier $ n $ considéré.

2. À $ n $ fixé, soit $ c_{n,x} $ le supremum des réels $ f^{(n)}(t) $ tels que $ 0 \leqslant t \leqslant x $. On constate immédiatement que $ f^{(n-k)}(t) \leqslant c_{n,x} t^{n-k} / k! $ pour tout $ k \leqslant n $ et tout $ t \leqslant x $. On en conclut que $ c_{n,x} \geqslant n! f(x) / x^n $.

3. Si l'on pose $ g(x) = f(x) / x^n $, on constate que $ g'(x) = (2 - n x^2) f(x) / x^{n+3} $, de sorte que $ g $ est maximale en $ x = \sqrt{2/n} $. On en déduit que $$ c_{n,\sqrt{2}} \geqslant c_{n,x} \geqslant n! g\left(\sqrt{2/n}\right) = n! f\left(\sqrt{2/n}\right) (n/2)^{n/2} = (2e)^{-n/2} n! n^{n/2} \sim \frac{n!^{3/2}}{(2 \pi n)^{1/4} 2^{n/2}} $$

[JeanN]

Merci de me rassurer
J'avais trouvé cette minoration et J'ai aussi cherché un peu du côté de la première racine positive de P_n qui semble être en cste/sqrt(n) également...
J'ai quelques conjectures numériques à l'aide de Maple mais je suppose que ça n'intéresse pas grand monde

[Calli]

Bonjour,
Savez-vous pourquoi le Latex entre dollars ne compile pas chez moi ? C'est gênant pour la lecture. (En revanche, les équations en mode centré compilent bien.)

[Calli]

2. [...] On constate immédiatement que $ f^{(n-k)}(t) \leqslant c_{n,x} t^{n-k} / k! $

Je crois qu'il y a une coquille. C'est plutôt $f^{(n-k)}(t) \leqslant c_{n,x} t^{k} / k!$.

[JeanN]

J'avoue que j'ai pas relu en détail mais en fait un simple Taylor Lagrange à l'ordre n-1 donne la minoration trouvée par v@j (après maximisation de la fonction qui va bien).

Sinon, je sais pas trop pour les simples dollars...

[Calli]

Edit : Ce qui suit ne marche pas.

En réappliquant la formule de V@J, ç'a l'air de marcher.

On a pour tous $ 0\leqslant k\leqslant n $ et $t\in [0,\sqrt{\frac2k}]$, $$c_{n,2}\geqslant \frac{(n-k)!}{t^{n-k}} f^{(k)}(t) \geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} f^{(k)}(t) $$ donc en passant au sup sur $t$, $$c_{n,2}\geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} c_{k,\sqrt{2/k}} \geqslant \frac{(n-k)!}{\sqrt{2/k}^{n-k}} \times (2e)^{-k/2} k! k^{k/2}$$ en reprenant ce qu'a fait V@J.
Maintenant, prenons $k= an$ (ou l'entier le plus proche, mais négligeons ce détail) avec $a\in{]0,1[}$. Notons $b= 1-a$. Alors, si je n'ai pas fait d'erreur de calcul, $$c_{n,2} \geqslant \frac{(bn)!}{(\frac2{an})^{bn/2}} \times (2e)^{-an/2} (an)! (an)^{an/2} \sim \frac{n^{3n/2}}{2\pi n\sqrt{ab} } \left(\frac{\sqrt a a^ab^b}{\sqrt2 e^{1+\frac{a}2}}\right)^n$$
Or $\displaystyle n!^{3/2}\sim \frac1{(2\pi n)^{3/4}} \left(\frac{n}e\right)^{3n/2}$. Donc $\displaystyle \frac{\sqrt a a^ab^b}{\sqrt2 e^{1+\frac{a}2}} > e^{-3/2}$ suffirait pour avoir $n!^{3/2} = o(c_{n,2})$ quand $n\to \infty$. Malheureusement, cette inégalité n'est jamais vraie...