Analyse non standard et principe de récurrence

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Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Mourien » 10 avr. 2021 15:05

Bonjour, je me permets de poser une question dépassant le programme de prépa sur le forum car j'y suis à l'aise. :) Je ne sais pas si c'est toléré car ce n'est pas la vocation première du forum, donc dites moi si je dois migrer vers un forum plus familier de ces questions (je n'ai rien vu dans la charte). :D

Dans un article (https://numerisation.univ-irem.fr/AAA/A ... A81019.pdf) sur l'analyse non standard, on a cette définition :
On se place dans $ \mathbb N $.
L'entier $ 0 $ est décrété naïf.
Si $ n\in\mathbb N $ a été décrété naïf, alors $ n+1 $ sera décrété naïf.
Par la suite, on s'intéresse à la propriété (appelée thèse par l'auteur, est-ce la même chose ?) :

$ T: \omega $ désigne un élément de $ \mathbb N $ non naïf.

Mais n'a-t-on pas immédiatement avec le principe de récurrence que n'importe quel entier est naïf ?
Quel est alors le sens de la propriété $T$ ?

S'agit-il d'une propriété d'existence (fausse?) ? A-t-on $ T \iff \exists \omega\in\mathbb N, \omega $ non naïf ?
L'analyse non standard n'est-elle qu'un énorme arnaque ou y-a-t-il une subtilité qui m'échappe complétement ?

L'auteur poursuit par
Le fait que la thèse $T$ ne peut de surcroît conduire à une contradiction est de plus une évidence.
Ce n'est pas si évident pour moi... Tout au plus je comprends qu'il n'y a aucun mal à décréter vraie la thèse puisque l'on garde un système logique cohérent.

Merci d'avance !
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Re: Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Hibiscus » 10 avr. 2021 18:34

C'est justement ça, son trip.
C'est que tu peux donner une définition d'un adjectif, ici, qui visiblement fait que tout le monde dans N est naïf, (ce qu'on a manifestement jamais prouvé clairement) mais ça ne t'empêche pas de définir la propriété T.
La question n'est pas de savoir si elle est vraie ou non, Juste de montrer, qu'en partant de là, on peut arriver à plein de propriétés sur un oméga en question.

Tout ce paragraphe n'est qu'une gymnastique sur le concept d' "évidence", et de conclusions hâtives, malgré des formulations parfois inexactes.

Certains aimeraient y voir du génie dans le mot, d'autres n'y voient que du vent, à toi de prendre ça comme tu le sens, avec le soupçon critique que l'enseignement supérieur essaye de te faire germer.
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Re: Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Mourien » 10 avr. 2021 18:55

Merci de ta réponse Hibiscus !
La question n'est pas de savoir si elle est vraie ou non
Je ne comprends pas cela... On est d'accord que la propriété $\exists \omega \in \mathbb N, \omega$ non naïf est fausse ?

Je suis surpris que l'on raisonne ensuite sur l'existence d'un objet qui n'existe donc pas...
Ce n'est pas faux de se dire je me donne tel objet et ensuite je montre plein de trucs mais cela peut sembler vain si l'hypothèse est de valeur de vérité inconnue, et surtout absurde si elle est fausse !
Certains aimeraient y voir du génie dans le mot, d'autres n'y voient que du vent
J'y vois plutôt du vent pour l'instant mais du coup je me demande s'il n'y a pas une subtilité qui m'échappe...
Cette théorie m'avait paru sur le papier solide pourtant... Mais je suis surpris d'être en désaccord total dès la première ligne !
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Re: Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Mourien » 10 avr. 2021 19:00

Par contre je conçois un tel énoncé, mais dont je déplore la non construction :

" Donnons nous un élément $\omega$ comparable avec les réels et tel que $\forall x>0, 0<\omega<x$, sans souci d'existence d'un tel $\omega$. "
Mais alors nécessairement $\omega \not \in \mathbb R$ !

C'est vraiment le "$\omega\in \mathbb N$" qui me gène !
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Re: Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Mr D » 14 avr. 2021 14:08

Bonjour,

L'arithmétique non-standard peut être déroutante au premier abord. Il n'y a aucune escroquerie, il y a bien des entiers "non naïf". Mais cela demande d'accepter de considérer sérieusement la question : "en prenant 0 puis $ n+1 $ dès que j'ai $ n $, est-ce que j'obtiens tous les entiers ?"

En théorie des ensembles, $ \mathbb N $ est le plus petit ensemble contenant 0 et stable par passage au successeur. Cela ne suffit pas pour conclure qu'il n'y a que les "$ n+1 $".

Pour une lecture claire et très agréable, je conseille Et pourtant ils ne remplissent pas $ \mathbb N $ de Claude Lobry, un bon connaisseur du sujet. C'est un sujet qui mérite une introduction pédagogique vraiment pensée. Ou de Francine et Marc Diener Analyse non standard. Il existe sûrement de bonnes références plus récentes...

Cdt

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Re: Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Calli » 14 avr. 2021 19:37

Bonjour,
Le principe de récurrence c'est : pour toute formule à une variable libre $P$ écrite dans le langage de la théorie des ensembles, on a $[P(0) \wedge (\forall n\in\Bbb N, P(n)\Rightarrow P(n+1))] \Rightarrow \forall n\in\Bbb N, P(n)$. Le langage de la théorie des ensembles c'est $\{``\in"\}$ auquel on peut éventuellement rajouter pour plus de praticité des constantes, fonctions et relations définies grâce aux axiomes de ZF : $ ``\varnothing", ``\subset", ``0",``1",``+",``\times"$, etc. Ce langage ne comprend pas la relation unaire "être naïf". Donc on ne peut pas appliquer le principe de récurrence à la proposition $P(n) : $ "$n$ est naïf".

Je suspecte que l'intention de l'auteur est ensuite de faire comprendre la même subtilité quand on remplace "naïf" par "standard". En ANS, il y a deux catégories d'objets : les standard et les non standard. Et pareil, on a des entiers standard stables par prises de successeurs, dont 0 fait partie, mais on a aussi des entiers non standard qui supérieurs à tous les entiers standard (c'est une conséquence des axiomes de l'ANS).

Et non, l'ANS ça n'est pas du vent. :wink:

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Re: Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Mourien » 14 avr. 2021 21:50

Merci beaucoup pour vos explications à tous les deux !

'être naïf' n'est pas exprimable dans le langage auquel on peut appliquer le principe de récurrence si je comprends bien.

De mon point de vue ca semble tout de même être une sorte d'artifice :)
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Re: Analyse non standard et principe de récurrence

Message par Contrexemple » 15 avr. 2021 12:24

Bonjour,

Cela devient moins mystérieux quand on sait que dans ZF+AC, tout ensemble peut être bien ordonné.
Ainsi, si on met un bon ordre sur $A=P(\mathbb N) $, on obtient des éléments a de $A$, que l on ne peut pas atteindre comme simple successeur du plus petit élément de $A$.

Mais il me semble que la collection des entiers non standards n est pas un ensemble.

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